计数原理+排列组合复习课 (高三一轮复习)

两 个 计 数 原 理排 列 ， 排 列 数 公 式 组 合 ， 组 合 数 公 式应 用 【 例 1】 有 两 个 袋 子 ， 其 中 一 个 袋 子 装 有 20个 红 色 小 球 ， 每 个 球 上 标 有 1至 20中 的 号 码 ， 另 一 个 袋 子 装 有 白 色 小 球 15 个 ， 每 个 球 上 标 有 1至 15中 的 号 码 ， (1)从 袋 子 中 任 取 一 个 小 球 ， 有 多 少 种 不 同 的 取 法 ？ (2)从 袋 中 任 取 红 白 球 各 一 个 ， 有 多 少 种 不 同 的 取 法 ？ 点 评 ： 分 清 是 “ 分 类 ” 还 是 “ 分 步 ” 是区 别 应 用 这 两 个 原 理 的 关 键 所 在 分 析 ： 分 类 ： 方 法 可 分 类 ， 类 与 类 是 并 列 关 系 ， 一 类 方 法 能 完 成 一 件 事 ； 分 步 ： 过 程 需 分 步 ， 步 与 步 是 前 后 相 继 的 关 系 ， 一 步 不 能 完 成 一 件 事 情 ， 几 步 共 同 才解 ： (1)分 两 类 ： 从 红 球 中 任 取 一 个 有 20种 不 同 的 取 法 从 白 球 中 任 取 一 个 有 15种 不 同 的 取 法 由 分 类 计 数 原 理 得 20 15 35(种 ), 即 共 35种 不 同 取 法 (2)分 两 步 ： 从 红 球 中 任 取 一 个 有 20种 不 同 的 取 法 ； 从 白 球 中 任 取 一 个 有 15种 不 同 的 取 法 ，由 分 步 计 数 原 理 得 20 15 300(种 ),即 共 300种 不 同 取 法 能 完 成 一 件 事 。 1、 分 类 、 分 步 两 个 原 理 的 区 别 与 联 系分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原 理定 义 做 一 件 事 ， 完 成 它 可 以 有 n类 办 法 ，第 一 类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法 ，第 二 类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法 ， ，第 n类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 种 不 同 的 方 法 . 做 一 件 事 ， 完 成 它 可 以 有 n个 步 骤 ，做 第 一 步 中 有 种 不 同 的 方 法 ，做 第 二 步 中 有 种 不 同 的 方 法 ，做 第 n步 中 有 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 种 不 同 的 方 法 .相 同 点 做 一 件 事 或 完 成 一 项 工 作 的 方 法 数不 同 点 直 接 （ 分 类 ） 完 成 间 接 （ 分 步 骤 ） 完 成名 称内 容 1m2m nm1 2 3 nN m m m m 1m2mnm1 2 3 nN m m m m 【 巩 固 练 习 】 已 知 集 合 M 3, 2, 1,0,1,2,P(a,b)是 平 面 上 点 ， (1) P可 表 示 多 少 个 不 同 的 点 ？ (2) P可 表 示 多 少 个 坐 标 轴 上 的 点 ？ (2)分 三 类 ： 第 一 类 ： P为 x轴 上 (除 原 点 )的 点 有 5种 ， 第 二 类 ： P为 y轴 上 (除 原 点 )的 点 有 5种 ， 第 三 类 ： P为 原 点 有 1种 ， 由 分 类 计 数 原 理 得 5 5 1 11(种 )， P可 表 示 11个 坐 标 轴 上 的 点 解 ： (1)分 两 步 ： 第 一 步 ： 先 确 定 横 坐 标 a有 6种 不 同 的 选 法 ； 第 二 步 ： 再 确 定 纵 坐 标 b有 6种 不 同 的 选 法 ， 由 分 步 计 数 原 理 得 6 6 36 (种 )， P可 表 示 36个 不 同 的 点 【 例 2】 用 五 种 不 同 颜 色 给 图 中 四 个 区 域 涂 色 ， 每 个 区 域 涂 一 种 颜 色 ， (1)共 有 多 少 种 不 同 的 涂 色 方 法 ？ (2)若 要 求 相 邻 (有 公 共 边 )的 区 域 不 同 色 ， 那 么 共 有 多 少 种 不 同 的 涂 色 方 法 ？1 234解 ： (1)由 分 步 计 数 原 理 可 知 ， 共 有 =625种 ； 45 (2)只 有 2和 4可 同 色 。 若 2， 4不 同 色 有 种 ， 若 2， 4同 色 ， 有 种 ， 共 有 120+60=180种 。 分 析 ： 有 5种有 5种有 5种 有 5种分 析 ： 5 4 3 2 120 5 4 3 60 1 234 21 53 4= 420（ 种 ）3 335444555 2 ACACA 解 ： 按 颜 色 分 类 ， 有 三 类 不 同 的 着 色 方 法 ：（ 1） 涂 5色 ： 有 种 ；55A（ 2） 涂 4色 ： 有 种 .4445AC由 分 类 计 数 原 理 ， 不 同 的 着 色 方 法 有 ：2（ 3） 涂 3色 ： 有 种 .3335 AC练 习 如 图 ， 一 个 地 区 分 为 5个 行 政 区 域 ， 现 给 地 图 着 色 ，要 求 相 邻 地 区 不 得 使 用 同 一 颜 色 ， 现 有 5种 颜 色 可 供 选 择 ，则 不 同 的 着 色 方 法 共 有 种 （ 以 数 字 作 答 ） . 【 例 3】 有 4名 学 生 报 名 参 加 数 学 、 物 理 、 化 学 竞 赛 ， 每 人 限 报 一 科 ， 有 多 少 种 不 同 的 报 名 方 法 ？ 有 4名 学 生 争 夺 数 学 、 物 理 、 化 学 竞 赛 的 冠 军 ， 有 多少 种 不 同 的 结 果 ？分 析 ： 4名 学 生 报 名 参 加 竞 赛 ， 不 得 兼 报 ， 是 “ 人 选 科 目 ” ， 每 人 都 有 3种 不 同 的 报 名 方 法 ， 可 把 4名 学 生 报 名 视 为 4个 步 骤 ， 用 分 步 计 数 原 理 ； 4名 学 生 争 夺 三 项 冠 军 ， 因 每 位 冠 军 只 能 是 一 名 学 生 获 得 ， 故 应 是 “ 科 目 选 人 ” ， 每 个 科 目 的 冠 军 都 有 4种 可 能 ， 将 3个 科 目 选 冠 军 视 为 3个 步 骤 ， 也 应 用 分 步 计 数 原 理 解 ： 4名 学 生 中 ， 每 人 都 要 选 报 数 学 、 物 理 、 化 学 中 的 一 科 ， 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 共 有 种 报 名 方 法 43 3 3 3 3 81 4名 学 生 争 夺 数 学 、 物 理 、 化 学 三 项 冠 军 ， 每 一 项 冠 军都 有 4种 不 同 的 结 果 ， 共 有 种 不 同 的 结 果 。 34 4 4 4 64 2、 排 列 和 组 合 的 区 别 和 联 系名 称 排 列 组 合定 义 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 ， 按一 定 的 顺 序 排 成 一 列 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 ，把 它 并 成 一 组种 数 所 有 排 列 的 的 个 数 所 有 组 合 的 个 数符 号计 算公 式关 系性 质 区 别 先 选 后 排 只 选 不 排mnA mnC( 1) ( 1)mnA n n n m !( )!mn nA n m ! 0! 1nnA n ! )1()1( m mnnnCmn )!(! ! mnm nCmn 10 nCm m mn n mA C A 11m mn nA nA 11 mnmnmn CCCmnnmn CC 【 算 一 算 】(1)计 算 1111 mm nm nmnm A AA (2)解 方 程 34 12 140 xx AA (3) 1 1( 2)n n nm m mA nA A n 排 列 应 用 题 的 求 解 应 着 眼 的 三 个 方 面 ：(1)问 题 的 结 果 是 否 与 顺 序 有 关 ， 能 否 归 结 为 排 列 问 题 ；(2)问 题 中 的 几 个 元 素 指 的 是 什 么 ， m个 元 素 的 一 个 排 列 对 应 着 的 事 件 是 什 么 ；(3)从 n个 元 素 中 每 次 取 出 m个 元 素 的 一 个 排 列 对 应 着 的 事 件 是 什 么 一 、 特 殊 优 先 原 则 在 有 限 制 的 问 题 中 ， 优 先 考 虑 特 殊 元 素 或 特 殊位 置 三 大 原 则 ：二 、 先 取 后 排 原 则先 取 后 排 原 则 也 是 解 排 列 组 合 问 题 的 总 原 则 ， 尤 其 是排 列 与 组 合 的 综 合 问 题 。三 、 正 难 则 反 原 则 若 从 正 面 直 接 解 决 问 题 有 困 难 时 ， 则 考 虑 排 除法 ： 先 不 管 约 束 条 件 ， 求 出 总 数 ， 再 剔 除 不 合 要 求的 部 分 采 用 策 略 ：（ 1） 特 殊 位 置 /元 素 优 先 排 列 的 策 略 ：（ 2） 合 理 分 类 与 准 确 分 步 的 策 略 ；（ 3） 排 列 、 组 合 混 合 问 题 先 选 后 排 的 策 略 ；（ 4） 正 难 则 反 、 等 价 转 化 的 策 略 ；（ 5） 相 邻 问 题 捆 绑 处 理 的 策 略 ；（ 6） 不 相 邻 问 题 插 空 处 理 的 策 略 ；（ 7） 定 序 问 题 除 法 处 理 的 策 略 ；（ 8） 分 排 问 题 直 排 的 策 略 （ 一 排 考 虑 ， 分 段 研 究 ） . 排 列 : 顺 序 ；【 例 1 】 7人 按 下 述 要 求 排 成 一 列 ， 分 别 有 多 少 种 不 同 的 站 法 ？ (1)甲 不 站 在 两 端 ； (2)甲 、 乙 必 须 站 在 两 端 ； (3)甲 、 乙 不 相 邻 ； (4)甲 、 乙 必 须 相 邻 ； (5)甲 、 乙 之 间 相 隔 2人 ； (6)甲 在 乙 的 前 面 (可 以 不 相 邻 )a cb d e gf分 析 ： 由 于 元 素 甲 、 乙 有 特 殊 要 求 ， 故 可 采 用 优 先 元 素 或 位 置 优 先 排 列 解 ： (1)(特 殊 位 置 分 析 法 )由 于 甲 不 站 在 两 端 ， 可 先 从 除 甲 外 的 6人 中 任 选 2人 站 于 两 端 共 有 种 方 法 ， 再 将 所 剩 5 人 在 所 剩 5个 位 置 上 进 行 全 排 列 有 种 方 法 ， 故 共 有 种 不 同 的 站 法 26A 55A2 56 5 3600A A (间 接 法 )7人 全 排 列 共 有 种 ， 其 中 甲 在 两 端 者 有 种 ， 故 甲 不 在 两 端 的 所 有 站 法 ， 共 有 种 77A 1 62 6A A7 1 67 2 6 3600A A A (特 殊 元 素 分 析 法 )由 于 甲 不 站 在 两 端 ， 故 甲 只 能 站 在 中 间 五 个 位 置 之 一 ， 有 种 ， 余 下 的 6人 进 行 全 排 列 共 有 种 ， 由 分 步 计 数 原 理 得 ， 共 有 种 不 同 的 站 法 15A 66A1 65 6 3600A A (2)先 排 甲 、 乙 于 两 端 有 种 排 法 ， 再 让 余 下 的 5人 进 行 排 有 种 ， 故 甲 、 乙 站 在 两 端 的 所 有 排 法 有 种 排 法 22A55A 5 25 2A A(3)(插 空 法 )由 于 甲 、 乙 不 相 邻 ， 故 先 排 除 了 甲 、 乙 以 外 的 5人 ， 有 种 排 法 ， 再 将 甲 、 乙 两 人 插 入 6个 空 档 有 种 ， 由 分 步 计 数 原 理 得 :甲 、 乙 不 相 邻 的 排 法 有 种 不 同 的 排 法 a cb d e分 析 26A55A 5 25 6 3600A A (间 接 法 )7人 全 排 列 有 种 ， 其 中 甲 、 乙 相 邻 者 有 种 ，从 而 甲 、 乙 不 相 邻 者 有 种 不 同 的 排 法 77A 2 62 6A A7 2 67 2 6 3600A A A (4)(捆 绑 法 )设 想 将 甲 、 乙 2人 并 作 一 人 ， 与 其 余 5人 进 行 全 排 列 ， 共 有 种 排 法 ， 又 此 2人 的 位 置 可 交 换 ， 即 有 种 排 法 ， 于 是 共 有 种 不 同 的 排 法 66A 22A2 62 6 1440A A a cb d e gf分 析(5)先 从 另 5人 中 选 2人 排 于 甲 、 乙 之 间 ， 有 种 排 法 ， 又 甲 、 乙 2人 的 排 法 有 种 ， 最 后 将 甲 、 乙 及 其 中 间 2人 共 4人 并 作 一 个 元 素 ， 与 其 余 3人 排 列 列 有 种 排 法 ， 故 共 有 种 不 同 的 排 法 25A22A 2 2 45 2 4 960A A A 44A (6)(整 体 、 对 称 法 )注 意 到 甲 在 乙 前 与 甲 在 乙 后 的 排 法 一 样 多 ， 故 共 有 种 排 法 771 25202 A 点 评 ： “ 先 ” 与 “ 后 ” ， “ 并 ” 与 “ 插 ” 都 是 辨证 的 ， 是 可 以 互 相 转 化 的 ， 在 处 理 限 位 排 列 问 题时 ， 应 灵 活 运 用 上 述 方 法 与 策 略 考 点 四 定 序 问 题 消 序 (定 序 元 素 后 排 )策 略 【 例 3】 7人 排 队 , 其 中 甲 乙 丙 3 人 顺 序 一 定 共 有 多 少不 同 的 排 法 ？ 47A 【 练 】 用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组 成 没 有 重 复 数 字 的 十 位数 字 小 于 个 位 数 字 的 五 位 数 共 有 多 少 个 ？ 2259AA【 练 】 某 班 新 年 联 欢 会 原 定 的 5个 节 目 已 排 成 节 目单 ， 开 演 前 又 增 加 了 两 个 新 节 目 .如 果 将 这 两 个 新节 目 插 入 原 节 目 单 中 ， 且 两 个 新 节 目 不 相 邻 ， 那么 不 同 插 法 的 种 数 为30 例 7.8人 排 成 前 后 两 排 ,每 排 4人 ,其 中 甲 乙 在 前 排 ,丁 在 后 排 ,共 有 多 少 排 法 ？解 :8人 排 前 后 两 排 ,相 当 于 8人 坐 8把 椅 子 ,可 以 把 椅 子 排 成 一 排 . 先 在 前 4个 位 置 排 甲 乙 两个 特 殊 元 素 有 _种 ,再 排 后 4个 位 置 上 的特 殊 元 素 有 _种 ,其 余 的 5人 在 5个 位 置上 任 意 排 列 有 _种 ,则 共 有 _种 . 前 排 后 排24A14A 55A 24A 55A14A一 般 地 ,元 素 分 成 多 排 的 排 列 问 题 ,可归 结 为 一 排 考 虑 ,再 分 段 研 究 . 点 拨 : 先 不 考 虑 定 序 的 条 件 , 排 好 后 再 除 以 要 求 定 序 的 元 素 的 全 排 列 数 . 变 式 10人 身 高 各 不 相 等 , 排 成 前 后 排 , 每 排 5人 , 要 求 从 左 至 右 身 高 逐 渐 增 加 ， 共 有 多 少 排 法 ？ 510C 【 小 试 牛 刀 】 (1)从 a,b,c,d 4名 学 生 中 选 出 2名 完 成 一 件 工 作 ，有 多 少 种 不 同 的 选 法 ？ (2)从 a,b,c,d 4名 学 生 中 选 出 2名 完 成 两 件 不 同 的 工 作 ，有 多 少 种 不 同 的 选 法 ？ 24A2 4C 组 合 ： 无 顺 序 问 题 ： 将 4本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要 求 分 组 有 多 少 不 同的 分 法 ？ (1)分 成 两 组 ， 一 组 3本 ， 另 一 组 1本 ；(2)平 均 分 成 两 组；分 组 问 题(3)分 成 三 组 ， 一 组 2本 ， 另 两 组 各 1本 ；(4)分 给 甲 、 乙 两 人 ， 甲 3本 ， 乙 1本 ；(5)分 给 甲 、 乙 两 人 ， 1人 3本 ， 另 1人 1本 ； 1.把 abcd分 成 平 均 两 组ab cdac bdad bc 有 _多 少 种 分 法 ？C42 C22A22 3cdbdbc adacab 这 两 个 在 分 组 时 只 能 算 一 个 平 均 分 成 的 组 ， 不 管 它 们 的 顺 序 如 何 ， 都 是 一 种 情 况， 所 以 分 组 后 要 除 以 Amm， 即 m!， 其 中 m表 示 组 数 。分 组 问 题 2.把 abcdef分 成 平 均 三 组 有 _多 少 种 分 法 ？分 组 问 题ab cd efab ef cdcd ab efcd ef abef ad cdef cd abac de ef 这 6个 在 分 组 时 只 能 算 一 个 平 均 分 成 的 组 ， 不 管 它 们 的 顺 序 如 何 ， 都 是 一 种 情 况， 所 以 分 组 后 要 除 以 A mm， 即 m!， 其 中 m表 示 组 数 。 C62 C42A33 15 1.把 abcd分 成 两 组 ， 一 组 3个 ， 一 组 1个 ，abc dabd cacd b有 _多 少 种 分 法 ？ C43 C11 4bcd a 分 组 总 共 有 4种分 组 问 题 :(不 平 均 分 组 ) 有 种 方 法 ；11C 可 先 分 3本 的 一 组 ， 再 分 1本 的 一 组 ， 这 是 连 续 进行 的 过 程 ， 因 此 应 采 用 分 步 法 将 4本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要 求 分 组 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ (1)分 析 ：解 ： 第 1步 ： 从 4本 书 中 任 取 3本 分 给 3本 的 一 组 ， 第 2步 ： 余 下 的 1本 书 分 给 1本 的 一 组 ， 根 据 乘 法 原 理 ， 共 有 =4 种 不 同 分 法 3 14 1C C分 组 问 题(1)分 成 两 组 ， 一 组 3本 ， 另 一 组 1本 ；分 二 步 有 种 分 法 ；34C 不 平 均 分 组 ， 无 分 配 目 标 将 4本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要 求 分 组 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ 有 种 方 法 ；2 2C解 ： 由 于 分 步 处 理 过 程 使 分 组 产 生 了 顺 序 ， 要 用 “ 除 法 ” 消序 第 二 步 ， 再 分 余 下 的 2本 书 得 到 另 一 组 ， 有 种 分 法 ；24C故 符 合 要 求 的 分 法 有 =3 种 不 同 分 法 2 24 222C CA(2)平 均 分 成 两 组 ；第 一 步 ， 先 从 4本 书 中 分 得 2本 得 到 一 组 ， 全 部 平 均 分 配 ， 无 分 配 目 标 将 4本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要 求 分 组 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ 有 种 分 法 ；12C解 ： 由 于 分 步 处 理 使 后 面 二 组 产 生 了 先 后 顺 序 ， 要 用 “ 除 法 ” 消序 第 二 步 ， 再 从 余 下 的 2本 书 中 分 1本 得 到 另 一 组， 有 种 分 法 ；24C故 符 合 要 求 的 分 法 有 =3 种 不 同 分 法 2 1 14 2 122C C CA (3)分 成 三 组 ， 一 组 2本 ， 另 两 组 各 1本 ；第 一 步 ， 先 从 4本 书 中 分 2本 得 到 一 组 ， 部 分 平 均 分 配 ， 无 分 配 目 标 第 三 步 ， 余 下 最 后 1本 书 得 到 最 后 一 组 ， 有 种 分 法 ；11C 问 题 ： 将 4本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要 求 分 组 有 多 少 不 同的 分 法 ？ (1)分 成 两 组 ， 一 组 3本 ， 另 一 组 1本 ；(2)平 均 分 成 两 组；一 、 分 组 不 分 配 问 题2. 均 匀 分 组 无 分 配 对 象 的 问 题3.部 分 均 分 无 分 配 对 象 的 问 题(3)分 成 三 组 ， 一 组 2本 ， 另 两 组 各 1本 ； 将 4本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要 求 分 组 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ (4)分 给 甲 、 乙 两 人 ， 甲 3本 ， 乙 1本 ；(5)分 给 甲 、 乙 两 人 ， 1人 3本 ， 另 1人 1本 ；分 组 且 分 配 问 题 分 组 定 向 分 配 问 题分 组 不 定 向 分 配 问 题有 种 方 法 ； 11C 可 先 分 给 甲 ， 再 分 给 乙 ， 这 是 连 续 进 行 的 过 程 ，因 此 应 采 用 分 步 法 (2)分 析 ：解 ： 第 1步 ： 甲 从 4本 书 中 分 得 3本 ， 第 2步 ： 乙 分 得 余 下 的 1本 书 ， 根 据 乘 法 原 理 ， 共 有 =4 种 不 同 分 法 3 14 1C C分 二 步 ： 有 种 分 法 ；34C 不 平 均 分 组 ， 有 分 配 目 标 且 明 确有 种 分 法 ；11C解 ： 第 1步 ： 先 从 4本 书 中 分 得 3本 得 到 一 组 ， 第 2步 ： 余 下 的 1本 书 得 到 另 一 组 ， 有 种 分 法 ；34C 根 据 乘 法 原 理 ， 共 有 =8 种 不 同 分 法 3 1 24 1 2C C A 第 3步 ： 将 分 好 的 两 组 再 分 给 甲 、 乙 两 人 ， 有 种 分 法 ；22A 不 平 均 分 组 ，有 分 配 目 标 ， 但 不 明 确 【 典 型 例 题 】 12本 不 同 的 书 ， 按 下 列 方 法 分 堆 ， 共 有 多 少 种 不 同 的 方 法 ？ (1)分 成 A、 B、 C三 堆 ， 每 堆 4本 ； (2)分 成 A、 B、 C三 堆 ， A为 6本 ， B、 C各 为 3本 ； (3)平 均 分 成 三 堆 ， 每 堆 4本 ； (4)分 成 三 堆 ， 其 中 一 堆 6本 ， 另 两 堆 各 3本 ； (5)分 成 五 堆 ， 其 中 两 堆 每 堆 3本 ， 另 外 三 堆 每 堆 2本 分 析 ： 4 4 4 4 4 4A B C ? 堆 有 编 号 ， 分 堆 有 顺 序 ； 平 均 分 堆 ， 堆 无 编 号 ， 堆 与 堆 之 间 无 顺 序 。 (2)同 (1)可 得 ： 共 有 种 分 堆 方 法 4 4 412 8 4 34650C C C 4 4 412 8 433 5575C C CA 6 3 312 6 322 9240C C CA (3)共 有 种 不 同 的 分 堆 方 法 (4)共 有 种 不 同 的 分 堆 方 法 (5)共 有 种 不 同 的 分 堆 方 法 3 3 2 2 12 9 6 22 32 3 138600C C C CA A 解 ： (1)A堆 得 4本 书 有 种 方 法 ， B堆 得 4本 书 有 种 方 法 ， C堆 得 4本 书 有 种 方 法 ， 由 分 步 计 数 原 理 得 ： 共 有 种 不 同 的 分 堆 方 法 412C 48C44C4 4 412 8 4 34650C C C 4 4 4 312 8 4 333 34650C C C AA 点 评 ： 平 均 分 堆 问 题 与 顺 序 无 关 练 习 ： 有 12个 人 ， 按 照 下 列 要 求 分 配 ， 求 不 同 的 分 法 种 数 （ 1） 分 为 两 组 ， 一 组 7人 ， 一 组 5人 ； （ 2） 分 为 甲 、 乙 两 组 ， 甲 组 7人 ， 乙 组 5人 ； （ 3） 分 为 甲 、 乙 两 组 ， 一 组 7人 ， 一 组 5人 ； （ 4） 分 为 甲 、 乙 两 组 ， 每 组 6人 ； （ 5） 分 为 两 组 ， 每 组 6人 ； （ 6） 分 为 三 组 ， 一 组 5人 ， 一 组 4人 ， 一 组 3人 ； （ 7） 分 为 甲 、 乙 、 丙 三 组 ， 甲 组 5人 ， 乙 组 4人 ， 丙 组 3人 ； （ 8） 分 为 甲 、 乙 、 丙 三 组 ， 一 组 5人 ， 一 组 4人 ， 一 组 3人 ； （ 9） 分 为 甲 、 乙 、 丙 三 组 ， 每 组 4人 ； （ 10） 分 为 三 组 ， 每 组 4人 【 探 索 与 研 究 】如 图 ， 某 城 市 有 6纵 7横 共 13条 马 路 ， 汽 车 从 图 示 A处 行 驶至 B处 ， 行 驶 方 向 规 定 只 能 是 正 东 向 或 正 北 向 ， 则 不 同 的行 驶 路 径 有 多 少 条 ？ 分 析 ： 从 A行 驶 到 B， 共 需 走 11“段 ” 路 ，其 中 横 路 5段 ， 纵 路 6段 ， 而 且 我 们 知 道 ，任 意 一 条 路 径 都 是 5横 6纵 共 11段 路 组成 从 而 问 题 转 化 为 在 11段 路 径 中 无 顺序 地 确 定 5段 横 路 的 位 置 ， 这 是 一 个 组 合问 题 解 ： 共 有 条 不 同 的 路 径 511 462C 点 评 ： 对 于 较 复 杂 的 排 列 组 合 问 题 ，充 分 挖 掘 出 问 题 的 简 化 模 型 ， 往 往 是我 们 快 捷 而 准 确 地 解 决 问 题 的 关 键 2.(2016课 标 全 国 ,5,5分 )如 图 ,小 明 从 街 道 的 E处 出 发 ,先 到 F处 与 小 红 会 合 ,再 一 起 到 位 于 G处 的老 年 公 寓 参 加 志 愿 者 活 动 ,则 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径 条 数 为 ( )A.24 B.18 C.12 D.9答 案 B 分 两 步 ,第 一 步 ,从 EF,有 6条 可 以 选 择 的 最 短 路 径 ;第 二 步 ,从 FG,有 3条 可 以 选 择 的 最 短 路 径 .由 分 步 乘 法 计 数 原 理 可 知 有 63=18条 可 以 选 择 的 最 短 路 径 .故 选 B. 3、 课 堂 小 结1.正 确 区 分 、 合 理 运 用 两 个 计 数 原 理 ；2.真 正 理 解 排 列 与 组 合 的 区 别 和 联 系 ；排 列 -顺 序 ； 组 合 -无 顺 序3.掌 握 求 解 排 列 、 组 合 的 典 型 方 法 。 间 接 法 、 捆 绑 法 、 插 空 法 、 整 体 对 称 法 等 补 充 习 题 例 6. 用 0, l, 2, 3, 4, 5这 六 个 数 字 ， （ l） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 四 位 偶 数 ？ （ 2） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 为 5的 倍 数 5位 数 ？ （ 3） 能 组 成 多 少 个 比 1325大 无 重 复 数 字 的 四 位 数 ？ （ 4） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 且 奇 数 在 奇 数 位 上 的 六 位 数 字 ？解 ：（ 2） 符 合 条 件 的 可 分 为 二 类 ：第 一 类 ： 0在 个 位 时 有 个 ； 45A第 二 类 ： 5在 个 位 时 有 个 ；3414 AA 由 分 类 计 数 原 理 得 ， 符 合 条 件 的 五 位 数341445 AAA = 216 （ 个 ） 解 ：（ 3） 符 合 条 件 的 可 分 为 三 类 ：第 一 类 ： 千 位 数 字 为 2、 3、 4、 5 时 有 个 ；3514 AA 第 二 类 ： 千 位 百 位 数 字 为 14、 15时 有 个 ；2412 AA 由 分 类 计 数 原 理 得 ， 符 合 条 件 的 数 共 有1 31224123514 AAAAAA = 270 （ 个 ）第 三 类 ： 千 位 百 位 十 位 数 字 为 134、 135时 有 个 ；1312 AA 例 5 用 0, l, 2, 3, 4, 5这 六 个 数 字 ， （ l） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 四 位 偶 数 ？ （ 2） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 为 5的 倍 数 5位 数 ？ （ 3） 能 组 成 多 少 个 比 1325大 无 重 复 数 字 的 四 位 数 ？ （ 4） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 且 奇 数 在 奇 数 位 上 的 六 位 数 字 ？ 解 ： （ 4） 先 将 1， 3， 5 在 奇 数 位 上 排 列 ， 有 种 ， 再 将 其 余 3个 偶 数 排 在 剩 余 3个 位 置 上 排 列 ， 共 有 种 ，33A由 分 步 计 数 原 理 得 ， 共 有 种 排 法 ，2 2333333 AAAA = 24 （ 个 ） 33A3333AA而 其 中 0在 首 位 上 时 不 合 题 意 ， 有 种 ，2233AA所 以 符 合 条 件 的 数 共 有 例 5 用 0, l, 2, 3, 4, 5这 六 个 数 字 ， （ l） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 四 位 偶 数 ？ （ 2） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 且 为 5的 倍 数 5位 数 ？ （ 3） 能 组 成 多 少 个 比 1325大 无 重 复 数 字 的 四 位 数 ？ （ 4） 能 组 成 多 少 个 无 重 复 数 字 的 且 奇 数 在 奇 数 位 上 的 六 位 数 字 ？ 谢 谢 ！ 【 小 试 牛 刀 】 (1)从 a,b,c,d 4名 学 生 中 选 出 2名 完 成 一 件 工 作 ， 有 种 不 同 的 选 法 ？ (2)从 a,b,c,d 4名 学 生 中 选 出 2名 完 成 两 件 不 同 的 工 作 ， 有 种 不 同 的 选 法 ？ 24C 24A(3)a,b,c,d 4个 足 球 队 之 间 进 行 单 循 环 比 赛 ， 共 需 踢 场 ？ 24C (4)a,b,c,d 4个 足 球 队 争 夺 冠 亚 军 ， 有 种 不 同 的 结 果 ？ 24A【 典 型 例 题 】 求 方 程 的 正 整 数 解 的 个 数 1 2 3 4 7x x x x + + + = 71x 2x 3x 4x分 析 1 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 4 14A14A24A法 1 组 合 ： 无 顺 序 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=71 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=71 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=7法 2解 ： 法 一 共 有 种 法 二 共 有 种 1 2 14 4 4 20A A A 36 20C 点 评 ： 此 题 新 颖 ， 解 题 过 程 中 用 到 的 都 是 基 本 知 识 和 基本 方 法 ， 但 要 通 过 分 析 、 构 想 、 调 动 基 本 知 识 和 基 本 方法 解 题 解 法 一 应 有 较 强 的 分 类 讨 论 处 理 问 题 的 意 识 ；解 法 二 通 过 转 化 ， 化 归 为 熟 悉 的 插 空 问 题 由 此 还 可 以 求 解 本 类 问 题 更 一 般 的 情 形 1 有 六 本 不 同 的 书 分 给 甲 、 乙 、 丙 三 名 同 学 ， 按 下 条件 ， 各 有 多 少 种 不 同 的 分 法 ？（ 1） 每 人 各 得 两 本 ；（ 2） 甲 得 一 本 ， 乙 得 两 本 ， 丙 得 三 本 ；（ 3） 一 人 一 本 ， 一 人 两 本 ， 一 人 三 本 ；（ 4） 甲 得 四 本 ， 乙 得 一 本 ， 丙 得 一 本 ；（ 5） 一 人 四 本 ， 另 两 人 各 一 本 .(3) (4)(5)C52C33C61 A33C52 C33C61 C21 C11C64A31 C21 C11C64(2) C42 C22C62(1)分 组 问 题