14生活中的优化问题举例(1)

1.4 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 第 一 章 导 数 及 其 应 用 生 活 中 经 常 遇 到 求 利 润 最 大 ， 产量 最 大 ， 成 本 最 低 ， 用 料 最 省 等 实际 问 题 ， 这 些 问 题 通 常 称 为 优 化 问题 .问 题 提 出 结 合 刚 刚 学 过 的 ， 导 数 是 求 函 数最 大 （ 小 ） 值 的 有 力 工 具 .因 此 ， 我们 可 以 运 用 导 数 ， 解 决 实 际 生 活 中的 某 些 优 化 问 题 【 例 1】 学 校 或 班 级 举 行 活 动 ， 通 常 需 要张 贴 海 报 进 行 宣 传 .现 让 你 设 计 一 张 如 图所 示 的 竖 向 张 贴 的 海 报 ， 要 求 版 心 面 积为 128dm2， 上 、 下 两 边 各 空 2dm， 左 、 右两 边 各 空 1dm.如 何 设 计 海 报 的 尺 寸才 能 使 四 周 的 空 白面 积 最 小 ？典 例 讲 评 海 报 版 面 尺 寸 的 设 计 解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题反 思 提 高 【 例 2】 饮 料 瓶 大 小 对 饮 料 公 司 利 润 的影 响（ 1） 你 是 否 注 意 过 ， 市 场 上 等 量 的小 包 装 的 物 品 一 般 比 大 包 装 的 要 贵些 ？ 你 能 从 数 学 上 ， 说 明 它 的 道 理吗 ？（ 2） 是 不 是 饮 料 瓶 越 大 ， 饮 料 公 司的 利 润 越 大 ？典 例 讲 评 问 题 2、 瓶 子 的 半 径 多 大 时 ， 每 瓶饮 料 利 润 最 小 ？【 背 景 知 识 】 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形瓶 装 的 某 种 饮 料 ， 瓶 子 的 制 造 成 本 是0.8 r2分 ， 其 中 r(单 位 ： cm)是 瓶 子 的半 径 .已 知 每 出 售 1mL的 饮 料 ， 制 造 商 可获 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 作 的 瓶 子 的最 大 半 径 为 6cm.问 题 提 出问 题 1、 瓶 子 的 半 径 多 大 时 ， 能 使每 瓶 饮 料 利 润 最 大 ？ 函 数的 大 致 图 象 是 什 么 ？ 据 图 象 分 析 ， 瓶 子半 径 的 大 小 对 制 造 商 的 利 润 产 生 什 么 影响 ？ 3 2( ) 0.8 ( )(0 6)3rf r r rp= - O xy 2 3 6问 题 提 出 2( ) 0.8 ( 2 )(0 6)f r r r rp = - 令 ， 则 ，( ) 0 =2f r r =当 （ ， ） 时 ， ；当 （ ， ） 时 ，0 2 ( ) 02 6 ( ) 0.r f rr f r （ 1） 将 包 装 盒 捏 成 球 状 ， 因 为 小 包装 的 半 径 小 ， 其 利 润 低 ， 生 产 商 就 提高 销 售 价 格 来 平 衡 与 大 包 装 的 利 润 . 问 题 解 决（ 2） 当 0 r 2时 ， 利 润 单 调 递 减 ，即 半 径 越 大 ， 利 润 越 小 ； 当 r 2时 ，利 润 单 调 递 增 ， 即 半 径 越 大 ， 利 润 越小 . 当 0 r 3时 ， 利 润 为 负值 ； 当 r 3时 ， 利 润 为零 ； 当 r 3时 ， 利 润 为正 值 ， 并 随 着 瓶 子 半 径的 增 大 利 润 也 相 应 增 大 .O xy 2 3 6 （ 2） 是 不 是 饮 料 瓶 越 大 ， 饮 料公 司 的 利 润 越 大 ？ 【 例 3】 磁 盘 的 最 大 存 储 量 问 题 （ 1） 你 知 道 计 算 机 是 如 何 存 储 、 检索 信 息 吗 ？（ 2） 你 知 道 磁 盘 的 结 构 吗 ？（ 3） 如 何 使 一 个 圆 环 状 的 磁 盘 存 储尽 可 能 多 的 信 息 ？典 例 讲 评 【 背 景 知 识 】 计 算 机 把 信 息 存 储 在 磁 盘上 ， 磁 盘 是 带 有 磁 性 介 质 的 圆 盘 ， 并 由操 作 系 统 将 其 格 式 化 成 磁 道 和 扇 区 .磁 道是 指 不 同 半 径 所 构 成 的 同 心 圆 轨 道 ， 扇区 是 指 被 圆 心 角 分 割 成 的 扇 形 区 域 .磁 道上 的 定 长 的 弧 可 作 为 基 本 存 储 单 元 ， 根据 其 磁 化 与 否 可 分 别 记 录 数 据 0或 1， 这个 基 本 单 元 通 常 称 为 比 特 ， 磁 盘 的 构 造如 图 所 示 . 问 题 提 出 为 了 保 障 磁 盘 的 分 辨 率 ， 磁 道之 间 的 宽 度 必 须 大 于 m， 每 比 特 所 占 用的 磁 道 长 度 不 得 小 于 n.为 了 数 据 检 索的 方 便 ， 磁 盘 格 式 化 时 要 求 所 有 磁 道具 有 相 同 的 比 特 数 . Rr问 题 解 决 现 有 一 张 半 径 为 R的 磁 盘 ， 它 的存 储 区 是 半 径 介 于 r与 R的 环 形 区 域 ， 且最 外 面 的 磁 道 不 存 储 任 何 信 息 Rr（ 1） 是 不 是 r越 小 ， 磁 盘 的储 存 量 越 大 ；（ 2） r为 多 少 时 ， 磁 盘 具 有最 大 的 储 存 量储 存 量 =磁 道 数 每 磁 道 的 比 特 数问 题 解 决 如 果 每 条 磁 道 存 储 的 信 息 与 磁道 的 长 度 成 正 比 ， 那 么 如 何 计 算 磁 盘 的存 储 量 ？ 此 时 ， 是 不 是 r越 小 ， 磁 盘 的 存储 量 越 大 ？ Rr问 题 解 决 2 2( ) ( )r R rf r r R rn m m np p-= = -2( ) ( 2 )rf r R rm np = - 当 时 ， 磁 盘 的 存 储 量 最 大 ，最 大 存 储 量 为 22 .2Rr Rm np= 解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题课 堂 小 结 P37习 题 1.4A组 ： 1， 2， 3.布 置 作 业