8.4 三元一次方程组

三元一次方程组的解法 流 氓 兔 比 加 菲 猫 大 1岁流 氓 兔 年 龄 的 两 倍 与 米 老 鼠的 年 龄 之 和 比 加 菲 猫 大 18岁 求 三个 小动 物的 年龄 ?三 个 小 动 物 年 龄 的 和 是 26岁x+y+z=26, x-y=1 2x+z-y=18 根 据 题 意 ， 设 流 氓 兔 、 加 菲 猫 、 米 老 鼠 的 年 龄分 别 为 x、 y、 z 可 以 列 出 以 下 三 个 方 程 ： （ 一 ） 三 元 一 次 方 程含 有 三 个 未 知 数 ， 并 且 含 有 未 知 数 的项 的 次 数 都 是 1， 像 这 样 的 整 式 方 程 叫做 三 元 一 次 方 程 。定 义 （ 二 ） 三 元 一 次 方 程 组解 :设 流 氓 兔 x岁 ， 加 菲 猫 y岁 ， 米 老 鼠 z岁 ，x y+z=26， x-y=1， 2x+z-y=18 组 合 在一 起 这 样 就 构 成 了方 程 组x+y+z=26 x-y=1 2x+z-y=18 含 有 三 个 相 同 的 未 知 数 ， 每 个 方 程 中 含 有未 知 数 的 项 的 次 数 都 是 1 ， 像 这 样 的 方 程 组叫 做 三 元 一 次 方 程 组三 元 一 次 方 程 组 如 何 定 义 ?x y+z=26， x-y=1，2x+z-y=18. 含 有 三 个 未 知 数未 知 数 的 项 次 数 都 是 一 次特 点定义 辨 析 判 断 下 列 方 程 组 是 不 是 三 元 一 次 方 程 组 ?方 程 个 数 不 一 定 是 三 个 ,但 至 少 要 有 两 个 。 方 程 中 含 有 未 知数 的 个 数 是 三 个 173 7 2x y zx y z 163 2x yx y 2 33 22 11x y zx y zxy y z 方 程 中 含 有 未 知 数 的项 的 次 数 都 是 一 次 x+y =20 y+z=19 x+z=21 方 程 组 中 一 共 有三 个 未 知 数辨 析 代 入 消 元 法2、 解 二 元 一 次 方 程 组 的 基 本 思 路 是 什 么 ？消 元 一 元 一 次 方 程 二 元 一 次 方 程 组 消元1、 解 二 元 一 次 方 程 组 的 方 法 有 哪 些 ？3 22 3x yx y 加 减 消 元 法 三 元 一 次 方 程 组 一 元 一 次 方 程 二 元 一 次 方 程 组1.化 “ 三 元 ” 为 “ 二 元 ”总结 消 元 消 元三 元 一 次 方 程 组 求 法 步 骤 ：2.化 “ 二 元 ” 为 “ 一 元 ” 怎 样 解 三 元 一 次 方 程 组 ？（ 也 就 是 消 去 一 个 未 知 数 ） 例 1 解 方 程 组 x-z=4. 2x+2z=2，得 1x z 1 . 化 “ 三 元 ” 为 “ 二 元 ” 考 虑 消 去 哪 个 未 知 数 （ 也 就 是 三 个 未 知 数 要 去 掉 哪 一 个 ?）2. 化 “ 二 元 ” 为 “ 一 元 ” 。x-y+z= 0 x+y+z= 2 x-z = 4 1x z 解 法 一 ： 消 去 y x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4. 解 法 二 ： 消 去 x由 得 ， x=z+4 把 代 入 、 得 ，2z+y=-2 2z-y =-4 （ z+4)+y+z=2 (z+4)-y+z=0 化 简 得 ， x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4. 解 法 三 ： 消 去 z由 得 ， z=x-4 把 代 入 、 得 2x+y=6 4-y=0 x+y+(x-4)=2,x-y+(x-4)=0,化 简 得 ， 注 ： 如 果 三 个 方 程 中 有 一 个 方 程 是 二 元 一 次方 程 （ 如 例 1中 的 ） ， 则 可 以 先 通 过 对 另外 两 个 方 程 组 进 行 消 元 ， 消 元 时 就 消 去 三 个元 中 这 个 二 元 一 次 方 程 （ 如 例 1中 的 ） 中缺 少 的 那 个 元 。 缺 某 元 ， 消 某 元 。x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.在 三 元 化 二 元 时 ， 对 于 具 体 方 法 的 选 取 应该 注 意 选 择 最 恰 当 、 最 简 便 的 方 法 。 解 ： ， 得 2x+2z=2 ,化 简 ， 得 x+z=1 + ,得 x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4. 把 代 入 ， 得x= 52 5 42 z 32z2x=5 52x x-z=4 x+z= 1 ,52x 32z 把 代 入 ， 得5 3( ) 02 2y y=1所 以 ， 原 方 程 组 的 解 是 521 32xyz 课 堂 练 习 x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y. 354x yy zz x 1 . 化 “ 三 元 ” 为 “ 二 元 ”解 ： ， 得 1x y 1x y 3x y 2. 化 “ 二 元 ” 为 “ 一 元 ” 例 2 解 方 程 组 原 方 程 组 中有 哪 个 方 程还 没 有 用 到？ 例 2 解 方 程 组 354x yy zz x 解 : - ， 得 + ， 得 2 2x 1x2, 3y z 1x y 所 以 ,原 方 程 组 的 解 是 1 23xyz 把 x=1 代 入 方 程 、 ， 分 别 得 1x y 3x y 354x yy zz x 1 . 化 “ 三 元 ” 为 “ 二 元 ”解 ： ， 得 1x y 例 2 解 方 程 组 原 方 程 组 中 有哪 个 方 程 还 没有 用 到 ？可 不 可 以 不 用 ？1x y 5y z 1x y 4z x 在 消 去 一 个 未 知 数 得 出 比 原 方 程 组 少 一 个 未 知 数 的二 元 一 次 方 程 组 的 过 程 中 ， 原 方 程 组 的 每 一 个 方 程一 般 都 至 少 要 用 到 一 次 可 不 可 以 只 用 方 程 组 中 的 两 个 就 求 解 出 方 程 的 解 ？ 例 2 也 可 以 这 样 解 : + + ,得即 ， ,得 3z ,得 1x354x yy zz x ， 得 所 以 ， 原 方 程 组 的 解 是 123xyz 2y 6x y z 2( ) 12x y z （ 一 ） 三 元 一 次 方 程 组 的 概 念 是 什 么 ?（ 二 ） 解 三 元 一 次 方 程 组 的 基 本 思 路 是 什 么 ? 作 业习题8.4：1题，2题