48高阶导数与高阶微分讲解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,福州大学数学与计算机学院,*,第八节 高阶导数与高阶微分,一、高阶导数的定义,二、,高阶导数求法举例,三、高阶微分,12/4/2024,1,福州大学数学与计算机学院,一、高阶导数的定义,问题:,变速直线运动的加速度.,定义,记作,12/4/2024,2,福州大学数学与计算机学院,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为,高阶导数,.,二阶导数的导数称为三阶导数,12/4/2024,3,福州大学数学与计算机学院,二、高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,12/4/2024,4,福州大学数学与计算机学院,例2,解,同理可得,12/4/2024,5,福州大学数学与计算机学院,例3,解,同理可得,12/4/2024,6,福州大学数学与计算机学院,例4,解,特殊地,12/4/2024,7,福州大学数学与计算机学院,例5,解,留意,求,n,阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出,n,阶导数.(,数学归纳法证明,),12/4/2024,8,福州大学数学与计算机学院,例6,解,12/4/2024,9,福州大学数学与计算机学院,2.高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,12/4/2024,10,福州大学数学与计算机学院,例7,解,12/4/2024,11,福州大学数学与计算机学院,3.间接法,常用高阶导数公式,利用的高阶导数公式,通过四则,运算,变量代换等方法,求出n阶导数.,12/4/2024,12,福州大学数学与计算机学院,例8,解,12/4/2024,13,福州大学数学与计算机学院,例1,解,隐函数的高阶导数,用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次求导,(y是x的函数),最终解出y的高阶导数.,12/4/2024,14,福州大学数学与计算机学院,12/4/2024,15,福州大学数学与计算机学院,例2,解,12/4/2024,16,福州大学数学与计算机学院,参数方程的高阶导数,12/4/2024,17,福州大学数学与计算机学院,例1,解,12/4/2024,18,福州大学数学与计算机学院,12/4/2024,19,福州大学数学与计算机学院,例3,设 连续，,求 .,不一定存在,故用定义求,解,12/4/2024,20,福州大学数学与计算机学院,12/4/2024,21,福州大学数学与计算机学院,例3,例4,12/4/2024,22,福州大学数学与计算机学院,例5,12/4/2024,23,福州大学数学与计算机学院,一阶微分的定义,三 高阶微分,12/4/2024,24,福州大学数学与计算机学院,若 可微时，称它的微分,为,y,的,二阶微分,，记为 .当 可微时，,一般地，当,y,的,n,-1,阶微分 可微时，,为,y,的,三阶微分,，记为,称它的微分,二阶微分：,n阶微分：,称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作,高阶微分：,二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。,1,高阶微分的定义,12/4/2024,25,福州大学数学与计算机学院,2.高阶微分的求法,用同样的方法，得,这里,dx,的是x处的产生的增量,与变量x无关,视作常数,即,y,的,n,阶微分等于它的,n,阶导数乘上自变量的微分,的,n,次方.,12/4/2024,26,福州大学数学与计算机学院,但对于复合函数我们就不能得出这一公式,这时才回能到前面导出的公式,这里 当u的是自变量x时,这事实也说明高阶导数不具有形式不变性,所以,12/4/2024,27,福州大学数学与计算机学院,对于复合函数我们就不能得出,留意这里记号,如n=2时,应有,表示不同含义,不能混淆.,12/4/2024,28,福州大学数学与计算机学院,例1,求 的二阶微分.,解:,所以,若把 看成是由 复合而成的函数，,则,所以,且,12/4/2024,29,福州大学数学与计算机学院,例2 设 分别依公式（1）、,（2）求,解 由 得,依公式（1）得,类似地，依公式（2）得,12/4/2024,30,福州大学数学与计算机学院,三、小结,高阶导数的定义及物理意义;,高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);,n,阶导数的求法：,1.直接法;,2.间接法.,12/4/2024,31,福州大学数学与计算机学院,