48导数在经济中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一、函数变化率-边际函数,二、本钱,三、收益,四、函数的相关变化率-函数的弹性,4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用-边际分析与弹性分析介绍,1,1、边际函数,设函数 可导，导函数 也称为,边际函数,。,称为 在,内的平均变化率，它表示在 内,的平均变化速度。,2,在点 处的导数 称为 在点,处的变化率，也称为 在点 处的边际函数值。它表示 在点 处的变化速度。,3,在点 处，从 改变一个单位，相应改变的真值应为 。但当,x,改变的,“单位”很小时，或,x,的“一个单位”与,值相对来比很小时，则有,当 时，标志着 由 减少一个单位,4,这说明 在点 处，当 产生一个单位的改变时，近似改变 个单位。在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似二字,5,例1函数 ，在点 处的边际函数值 ，它表示当 时,改变一个单位，（近似）改变20个单位。,6,例2 设某产品本钱函数C=C(Q)(C为总本钱，Q为产量），其变化率 称为边际本钱。称为当产量到达 时的边际本钱。,西方经济学家对它的解释是：当产量达到 时，生产 前最后一个单位产品所增添的成本。,7,2、本钱,某产品的总本钱是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定本钱与可变本钱组成。,平均本钱是生产一定量产品，平均每单位产品的本钱。,边际本钱是总本钱的变化率，即总本钱函数的导数,8,设,C,为总成本,为固定成本,为可变,成本，为平均成本，为边际成本，,Q,为产,量，则有,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,9,例1 已知某产品的成本函数为,求：当Q=10时的总本钱、平均本钱及边际本钱。,例2 例1中的商品，当产量Q为多少时，平均本钱最小？,10,3、收益,总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入。,平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售价。,边际收益为总收益的变化率。,11,总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数,设,P,为商品价格，,Q,为商品量，,R,为总收益，,为边际收益。则有,需求函数,P=P(Q),总收益函数,R=R(Q),平均收益函数,边际收益函数,12,需求与收益的关系有：,13,总收益与平均收益 的关系为,：,总收益与边际收益的关系为：,14,例1 设某产品的价格与销售量的关系为,P=,10,-Q,/5，求销售量为30时的总收益、平均收益与边际收益。,15,下面讨论最大利润原则：,设总利润为,L,，则,L=L(Q)=R(Q)-C(Q),L(Q),取得最大值的必要条件为：,，,即,于是可取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际本钱。,16,L(Q),取得最大值的充分条件为：,即,于是可取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际本钱的变化率。,17,例2 某产品的需求函数为P=10-Q/5，本钱函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最大利润原则。,18,例3 某工厂生产某产品，固定本钱为20000元，每生产一单位产品，本钱增加100元。,总收益R是年产量Q的函数,问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？,19,4、函数的相关变化率-函数的弹性,前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此是不够的。,比方，商品a每单位价格10元，涨价1元；商品b每单位价格是1000元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各自与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了10%，而商品b涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。,20,从 到 两点间的相对变化,定义4.5 设函数 在点 处可导，,函数的相对改变量 ，与自,变量的相对改变量 之比 ，称为函数,率，或称为两点间的弹性。,21,当 时，的极限称为 在,处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。,即,=,记作 ，或,22,对一般的,x,，若,f(x),可导，则有,是,x,的函数，称为,f(x),的弹性函数。,函数,f(x),在点,x,的弹性 反映随,x,的变化,f(x),变化幅度的大小，也就是,f(x),对,x,变化反应的强烈程度或灵敏度。,23,表示在点 处，当,x,产生1%的改变时，,f(x),近似改变%。在应用问题中解释弹性的具体意义时，我们也略去“近似”二字。,注意：两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性是对初始值而言的。,24,例1 求函数 在 处的弹性。,例2 求函数 的弹性函数 及,例3 求幂函数 （为常数）的弹性函数。,（该函数称为不变弹性函数）,25,5、需求函数与供给函数,“需求指在一定价格条件下，消费者愿意购置并且有支付能力购置的商品量。,消费者对某种商品的需求是多种因素决定的,商品的价格是影响需求的一个主要因素,但还有许多其他因素,如消费者收入的增减,其它代用品的价格等都会影响需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素（把其它因素对需求的影响看作不变的），只研究需求与价格的关系。,（1）,需求函数,26,设,P,表示商品价格，,Q,表示需求量，那么有,Q,=,f(P,),(P,为自变量，,Q,为因变量)称为需求函数,一般说来，商品价格低，需求大；商品价高，需求小。因此需求函数,Q,=,f(P,),是单调减少函数。,因,Q,=,f(P,),单调减少，所以有反函数,，也称为需求函数。,27,用,D,来表示需求曲线,28,需求函数 的 边际函数 称为边际需求。,例 若已知需求函数为,则边际需求函数为,当,P,=4时，称为,P,=4时的边际需求，它的经济含义表示：当价格,P,=4时，价格上涨（或下跌）1个单位时，需求将减少（或增加）4个单位。,29,（2）供给函数,“供给指在一定条价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。,供给也是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系。,设P表示商品价格,Q表示供给量,那么有,(P为自变量,Q为因变量)称为供给函数.,30,一般说来,商品价格低，生产者不愿意生产，供给少；商品价格高，供给多。因此一般供给函数为单调增加函数。所以有反函数 ，也称为供给函数。,31,（1）均衡价格,均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，此时需求量与供给量称为均衡商品量。,32,当 时，此时消费者购置的商品量会大于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供不应求，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况，这种状况不会持久，必然导致价格上涨。,当,时，此时消费者购买的商品量会小于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供过于求”，商品滞销。这种状况不会持久，必然导致价格下跌。,总之，市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动。,33,6、需求弹性与供给弹性,定义4.6 某商品需求函数 在 处,可导，称为该商品在 与,两点间的需求弹性。记作,34,称为该商品在,处的需求弹性。记作,35,例1 已知某商品需求函数 ，求,（1）从,P,=30到,P,=20，50各点间的需求弹性；,（2）,P,=30时的需求弹性，并指出其经济含义。,36,例2 设某商品需求函数为 ，求,（1）需求弹性函数；,（2）,P,=3，,P,=5，,P,=6时的需求弹性，并指出其经济含义。,37,定义4.7 某商品供给函数 在,处可导，称为该商品在 与,两点间的供给弹性。记作,38,称为该商品在 处的供给弹性。记作,39,7、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化,总收益,R,是商品价格,P,与销售量,Q,的乘积，即,40,（1）若 ，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，递增。即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。,（2）若 ，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，递减。即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。,（3）若 ，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时 ，取得最大值。,41,由上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化，其关系如以下图所示,42,例 设某商品需求函数为,(1)求需求弹性函数;,(2)求,P,=6时的需求弹性;,(3)在,P,=6时,若价格上涨1%,总收益增加还是减少?将变化百分之几?,(4),P,为何值时,总收益最大?最大的总收益是多少?,43,