教学讲解课件点估计

,概率统计,下页,结束,返回,一、参数的点估计,二、参数的区间估计,下页,第七章 参数估计,问题：,若总体,X,的分布函数,F,(,x,),的类型已知，但它,的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？,想法：,用,X,的一组样本观察值,(,x,1,x,2,x,n,),来估计总,体中未知参数的值,即用样本统计量的值估计总体中未,知参数的值,.,一般地,整批产品寿命,点估计问题的实际背景,从某厂生产的一批器件中随机抽取,10,件，测得其,分析,现要根据抽检结果,对未知参数 的大小进行推断,寿命值分别为,试问怎样估计该批器件的平均寿命？,(,小时,),按题设,从总体 抽取了一个容量为 的样本,由大数定律有,当 较大时 与 的“差别”应该较小,一般地,整批产品寿命,点估计问题的实际背景,从某厂生产的一批器件中随机抽取,10,件，测得其,分析,现要根据抽检结果,对未知参数 的大小进行推断,所以器件的平均寿命估计值为,寿命值分别为,试问怎样估计该批器件的平均寿命？,(,小时,),按题设,从总体 抽取了一个容量为 的样本,与 的“差别”应该较小,(,小时,),故可用 作为 的估计,未知参数,点估计问题的一般提法,设总体,其中 的函数形式为已知,为未,为来自总体 的样本,.,的点估计:,构造一个统计量,用统计,量观察值,作为未知参数 的近似值,.,为 的,估计量,称,为 的,估计值,称,二重性,问题,question,依据什么原理求未知参数的点估计,问题,question,估计 的直观要求是,用,估计的“误差”应较小,当 较大时,估计的“精度”应较高,对“误差”“精度”不同的解释,有不同的估计方法,常用的点估计方法,矩估计法,最大似然估计法,最小二乘估计法,设下列总体矩都存在：,由辛钦大数定律有,故当 较大时,可认为,又,（一）矩估计法,设总体,为未知参数,为来自总体 的样本,.,令,不一样！,可认为它们差别不大,解得,这是含变量,的方程组,为,称,的,矩估计量,(,矩估计,),未知参数真值,近似值,是否一样？,m,k,=,E,(,X,k,),c,k,=,E,X,-,E,(,X,),k,总体矩 总体矩的估计值 样本矩,=,=,显然,通常取,:,理论根据：,大数定律、格利文科定理,.,下页,矩估计法：,是用样本矩估计相应的总体矩，用样本矩函数,估计总体矩的同一函数的一种估计方法,.,例,1,设总体,X,N,(,m,s,2,),，,试求,m,s,2,的矩估计量,.,解得,m,s,2,的矩计量分别为,即,下页,解：,设,(,X,1,X,n,),为,X,的一个样本，,依题意知,E,(,X,)=,m,D,(,X,)=,s,2,，,据矩估计法有,解得,q,1,q,2,的矩估计量为,即,例,2,设总体,X,U,a,b,，,试求,a,，,b,的矩估计量,.,下页,解：,设,(,X,1,X,n,),为,X,的一个样本，,依题意知,据矩估计法有,思考一,从直观看该结果是否合理？,从直观看更好的估计应该是什么？,思考二,E,(,X,)=,q,根据矩估计法有,(,k,=0,1,2,；,0,q,0,有,则称 较 有效,.,有效性,设 是,q,的两个无偏估计量，若,解,：,因为,下页,问哪个是,的无偏估计量？,例,8,设,X,1,X,2,X,3,是来自均值为,的指数分布总体的样本,其中,未知，设有估计量,故 为,的无偏估计量,.,证：,即,S,2,为,s,2,的无偏估计量,.,下页,例,9,试证样本均值 及样本方差,S,2,分别是总体均值,m,及,总体方差,s,2,的无偏估计,.,作业：,170,页,1,3,5,7,结束,二、极大似然估计法,极大似然原理：,一个随机试验有若干种可能的结果,A,，,B,，,C,，,若在一次试验中，结果,A,出现，则一般认为试验条件,对,A,出现有利，也即,A,出现的概率很大,引例,设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有,99,个红球,1,个,蓝球，乙箱有,1,个红球,99,个蓝球，今随机地取出一箱，再从该箱,中任取一球，结果取得红球，问这球是从哪一个箱子中取出的？,解：,从甲箱中取得红球的概率,：,P,(,红,/,甲,)=99/100,；,从乙箱中取得红球的概率,：,P,(,红,/,乙,)=1/100.,显然，从甲箱中取得红球的概率，比从乙箱中取得红球的概率大,得多,.,既然在一次抽样中取得红球，当然可以认为是从抽取概率大的,箱子中抽出的，故可作出,统计推断,：红球是从甲箱中取出的,(,合理,).,这就是极大似然原理！,下页,求极大似然估计步骤,(1),写出似然函数,;,称为样本的似然函数,.,使似然函数取得最大值的 称为,q,的极大,似然估计值,.,这种方法称为极大似然估计法,.,极大似然函数,下页,(2),取对数,;,(3),求导数,;,(4),由导数,=0,解,得估计值,.,设总体,X,的概率密度函数为,f,(,x,;,q,),，,若,X,是离散型,f,(,x,;,q,),是,分布律,q,为未知参数,(,q,也可以是向量,),，则函数,例,5,X,服从参数为,l,的指数分布，求,l,的极大似然估计量,.,下页,解：,设,x,1,x,n,为样本的一组观测值，则似然函数为,解得,l,的,估计,值,为,由,所以,l,的,估计,量,为,例,6,设,X,N,(,m,s,2,）,求,m,s,2,的极大似然估计,.,解得,m,s,2,的极大似然估计值为,下页,解：,设,x,1,x,n,为样本的一组观测值，则似然函数为,例,7,设总体,X,具有均匀分布，密度函数为,求未知参数,q,的极大似然估计,.,显然,L,是,q,的一个单值递减函数，,而另一方面，,x,i,q,(,i,=1,2,3,n,),下页,解：,设,x,1,x,n,为样本的一组观测值，则似然函数为,所以,q,的极大似然估计值为,