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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/7/9,*,*,概率论与数理统计,第二章 随机变量及其概率分布,（1）,2021/7/9,1,1 随机变量及其分布函数,随机变量定义,定义,设 是某一随机试验的样本空间，,若对 中每个样本点 都有唯一的实,数 与之对应，则称此定义在 上,的单值实值函数 为,随机变量,。,（,random variable,简记为,r.v,.,）,2021/7/9,2,某些随机试验的结果可以对应于实数,值。如：,1）连续抛一枚匀质硬币3次，观察币值,一面向上的次数。,若币值一面向上，用“1”表示，图案一,面向上，用“0”表示，则随机试验所有可,能的结果是,（0，0，0）（1，0，0）（0，1，0）,（0，0，1）（1，1，0）（1，0，1）,（0，1，1）（1，1，1）,2021/7/9,3,用 表示币值一面向上的次数,样本点 对应的实数,（0，0，0） 0,（1，0，0）（0，1，0）,（0，0，1） 1,（1，1，0）（1，0，1）,（0，1，1） 2,（1，1，1） 3,可能的取值是 0，1，2，3,2021/7/9,4,2）测试灯泡的使用寿命。试验的样本空,间,= t t ,若用Y表示测试对象的使用寿命， 则,有,Y = t ，0 t +，,即 中每个样本点本身就是一个实数。,2021/7/9,5,有的随机试验的结果不是数值，如：,从一批产品中随机地抽取一件，观察取,到的是合格品或是次品。,可以为试验结果赋值，若用Z 表示抽验,结果。则有,抽验到次品， 令 Z=0；,抽验到合格品， 令 Z =1。,2021/7/9,6,综上，随机试验的样本空间中的每一,个样本点都可以与某一个实数对应，这,样的实数（实变量）即是随机变量。,试验前不能确定随机变量取哪一值，,但是，可以知道随机变量所有可能的取,值及以多大的概率取某一个值。,2021/7/9,7,随机变量的表示：,大写字母 X、Y、Z、,希腊字母,随机变量的取值表示为,小写字母 x、y、z、,随机变量的特征：,（1）随机变量的取值具有随机性；,（2）随机变量的取值具有统计规律性。,2021/7/9,8,随机变量的类型,离散型：随机变量的取值是有限个或,可列个（即取值可以一一列举）,连续型：随机变量的取值充满某一个,区间,2021/7/9,9,2随机变量的分布函数,定义,设 是随机变量，,是任意实数，则称,为随机变量 的分布函数，记,作 ，即,=,。,2021/7/9,10,对于任意的实数 ，随机变,量 落在区间 里的概率可以用,分布函数值表示：,2021/7/9,11,分布函数的性质：,（1） 是其自变量的单调不减函,数，即当 时有 ；,（2） ，且,；,（3） ，,即 是右连续的函数。,2021/7/9,12,例1 已知随机变量 的取值是0，1，2，,3，且知,（1）写出 的分布函数 ；,（2）求 。,2021/7/9,13,解（1） 的取值是 0，1，2，3，,且 =, 实数 10且,p 0.1时，即有,2021/7/9,31,例2 某保险公司承接一项意外伤害险业务。投保人数为2500，期限一年，各投保人在保期内是否发生意外伤害具有独立性。约定每人缴保费100元，若发生意外伤害保险公司将赔付每位受害者20000元，保险公司在此项业务上的成本是10000元。,2021/7/9,32,（1）若投保人发生意外伤害的概率是,0.002，求保险公司在此项业务上至少,获利100000元的概率；,（2）若投保人发生意外伤害的概率为,0.004，求保险公司在此项业务上亏本,的概率。,2021/7/9,33,解 设投保人中发生意外伤害的人数是,随机变量 ，由题设，,（1）p =0.002,事件保险公司至少获利100000元=,1002500-10000-20000 100000,= 7 ， =25000.002=5,2021/7/9,34,查泊松分布表得到各项数值，, P 7 0.876628,2021/7/9,35,（2）p=0.004 ， =25000.004=10,事件保险公司亏本=,1002500-1000012,2021/7/9,36,2021/7/9,37,（2）泊松分布,若随机变量 的可能取值是0,1,2,且,则称随机变量 服从参数为 的泊松,分布，分布律为,2021/7/9,38,容易验证：,2021/7/9,39,例3 设某商店一小时内接待的顾客数,，求（1）P =6；,（2）P 3。,解 ,（1）,（2）,2021/7/9,40,4）几何分布,若随机变量 的可能取值是1,2,3,且,，,则称随机变量 服从参数为 p的几何分,布，分布律是,2021/7/9,41,容易验证：,2021/7/9,42,例4 相同条件下向某一目标射击，若每,次射击的命中率p=0.3，且约定击中目标,即停止，否则继续。用 表示击中目标,时射击的次数，求（1） 的分布律；,（2）P 3。,2021/7/9,43,解 由题设，击中目标时射击的次数,服从参数为0.3的几何分布。, （1） 的分布律是,（2）,2021/7/9,44,2021/7/9,45,2021/7/9,46,
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