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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.2,函数的极值与导数,当高台跳水运动员距水面的高度最大时,函数,h,(,t,),在此点的导数是多少？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？,a,b,x,y,O,定义,一般地,设函数,f,(,x,),在点,x,0,附近有定义,如果对,x,0,附近的所有的点,都有,我们就说,f,(,x,0,),是,f,(,x,),的一个,极大值,点,x,0,叫做函数,y,=,f,(,x,),的,极大值点,.,反之,若,则称,f,(,x,0,),是,f,(,x,),的一个,极小值,点,x,0,叫做函数,y,=,f,(,x,),的,极小值点,.,极小值点、极大值点统称为,极值点,极大值和极小值统称为,极值,.,y,a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,O,x,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点,.,（,1,）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值,（,2,）极大值不一定比极小值大,(3),函数,f(x),在,(a,b),内有极值，那么,f(x),在,(a,b),内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值,一般地，当函数 在点 处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：,（,1,）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那,么 是极大值,（,2,）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那,么 是极小值,注：导数为,0,的点不一定是极值点,因为 所以,例,1,求函数 的极值,.,解,:,令 解得 或,当,即,或,;,当,即,.,当,x,变化时,f,(,x,),的变化情况如下表,:,x,(,2),2,(2,2),2,(2,+,),0,0,f,(,x,),+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以,当,x,=,2,时,f,(,x,),有极大值,28,/,3,;,当,x,=2,时,f,(,x,),有极小值,4,/,3,.,小结,（,3,）检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右,负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么,在这个根处取得极小值,（,2,）求方程 的根,（,1,）求导数,.,求可导函数 的极值的步骤如下：,练习,2,求下列函数的极值,:,解,:,令 解得 列表,:,x,0,f,(,x,),+,单调递增,单调递减,所以,当 时,f,(,x,),有极小值,练习,2,求下列函数的极值,:,解,:,解得 列表,:,x,(,3),3,(3,3),3,(3,+,),0,0,f,(,x,),+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以,当,x,=,3,时,f,(,x,),有极大值,54,;,当,x,=3,时,f,(,x,),有极小值,54,.,练习,2,求下列函数的极值,:,解,:,解得,所以,当,x,=,2,时,f,(,x,),有极小值,10,;,当,x,=2,时,f,(,x,),有极大值,22,.,解得,所以,当,x,=,1,时,f,(,x,),有极小值,2,;,当,x,=1,时,f,(,x,),有极大值,2,.,习题,A,组,#4,下图是导函数 的图象,在标记的点中,在哪一点处,(1),导函数 有极大值,?,(2),导函数 有极小值,?,(3),函数 有极大值,?,(4),函数 有极小值,?,或,
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