4第四讲随机变量及其概率(16)

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,本次课讲第二章第二节到第三节。,下次课讲第二章第三、四节到第三章第一节。,重点:常用离散分布;连续型随机变量的分布函数、区间概率、密度函数及其联系和区别。,难点:同上,作业:,下次上课时交作业,4,,第,1516,页,提示:教材中第,32,页的分布函数概念放到后面第三节讲授。,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,一、常用的离散随机变量概率分布,1.0-1,分布,设随机变量,X,只能取两个数值,0,和,1,而概率函数是,于是,概率分布为,通常称这种分布为称,0,1,分布,(,或,两点分布,).,2.,几何分布,其中,概率函数,设随机变量,X,的取值范围为:,取得这些值的概率函数是:,4.,超几何分布,其中,n,M,N,都是正整数,n,x,N M,.,且,n,N,M,N,x,M,x,n,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,通常记作,(,1,)超几何分布原型:,检查产品的次品问题,设一批产品共有,N,个,其中有,M,个次品,.,从这批产品,中任取,n,个产品,,,则,取出的,n,个产品中的次品数,X,服从超,几何分布,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,(,2),超几何分布在生产实际中应用广泛,但由于其计算繁琐,在理论中涉及不多。故一般的结论我们不做强化记忆的要求。,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,4.,二项分布,记,X,为,n,次独立重复试验中事件,A,发生的次数,则称,X,的概率函数,其中,为二项分布,.,记作:,二项分布在第一章中已经专门介绍过。,例,4-1-1,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,5.,泊松,( Poisson ),分布,1.,定义,设随机变量,X,的可能取值是一切非负整数,,而概率函数是,其中,常数,0,此称,泊松分布,( Poisson ).,泊松分布含有一个参数,通常记作,P,(,),.,如果,X,服从,泊松分布,P,(,),则记为,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,2.,泊松分布的意义:,泊松分布是泊松经过著名的泊松试验得出的成就。可用它描述大量试验中的小概率事件,如某区域发生交通事故的次数,某,120,急救站未接到急救电话的次数,更重要的是,它能近似计算二项分布,3.,泊松分布近似计算二项分布,定理,2,服从,泊松分布,P,(,),即,其中,=,n,p,.,则当,n,时,X,近似,设随机变量,X,B,(,n,p,),(,当,n,充分大时,),第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,证,泊松分布的计算要用泊松分布表,4.,泊松分布表,泊松分布表在教材后附录表,1,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-1-2,某十字路口有大量汽车通过,假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为,0,.,001,,如果每天有,5000,辆汽车通过这个十字路口,求发生交通事故的汽车数不少于,2,的概率,.,解,设,X,表示发生交通事故的汽车数,则,X,b,(,n,p,),此处,n,=5000,,,p,=0.001,,令,=,np,=5,,,上一页,下一页,返回,查表可得,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,二、连续型随机变量及其概率分布,1.,连续型随机变量产生的背景,如何描述连续型随机变量,X,的概率分布呢?,背景,1,:,若样本空间为区域,则区域内任一点的概率为零,背景,2,:,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,证:,3.,区间上的概率分布:,2.,概率的分布函数的定义:,是随机变量,X=,X(w,),的概率分布函数,简称分布函数或分布,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,由于连续随机变量中点的概率为零,所以:,4.,分布函数的性质:,(3),定义在区间,a,b,上的随机变量,X,的分布函数,F(x,),第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-2-1,解:利用函数的非负规范单调不减与无穷分段判断,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-2-2,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,5.,离散随机变量的分布函数定义:,利用连续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型随机变量的分布函数定义。请注意,离散型随机变量的分布函数与概率分布或与概率函数是不同的概念。,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,其分布函数的图形是右连续的阶梯曲线(如下图),第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,1,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-2-3,(,1997,年数学一,,7,分),从学校乘汽车到火车站的途中有,3,个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,0.4.,设,X,为途中遇到红灯的次数,求随机变量,X,的分布律和分布函数。,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-2-4,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,三、概率密度函数的概念,1.,概率密度函数定义:,则比值,设随机变量,X,落在区间,上的,概率为,:,密度实际上是单位区间上的概率,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,2.,概率密度的性质:,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-3-1,(,柯西分布,),设连续随机变量,X,的分布函数为,求,: (,1),系数,A,及,B,; (2),随机变量,X,落在区间,(-1,1),内的概率,;,(3),随机变量,X,的概率密度,.,解,(1),解得,(2),(3),第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,解,(1),(2),不是,.,(3),当 时,与 矛盾,不是,.,函数 可否是随机变量,X,的概率密度,如果,X,的可能值,充满区间,:,例,4-3-2,只要按照区间无穷定义:,即可,.,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,例,4-3-3,(,拉普拉斯分布,),连续随机变量,X,的概率密度为,求,: (,1),系数,A,; (2),随机变量,X,落在区间,(0,1),内的概率,;,(3),随机变量,X,的分布函数,.,当 时,解,(1),由规范性求系数,(2),由密度求区间概率,(3),由密度积分求分布,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,四、常用的连续分布一:均匀分布与指数分布,1.,均匀分布:,定义,设连续型随机变量,X,的一切可能值充满某一个有限区,并且在该区间内任一点有相同的概率密度,即:,则这种分布叫做,均匀分布,(或,等概率分布,)。,间,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,当,时,,当,时,,当,时,,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,显然,指数分布,的分布函数为,2.,指数分布,定义,2,其中,0,为常数。,设连续型随机变量,X,的概率密度,此类分布为,指数分布,,,若,随机变量,X,服从参数为,的指数分布,记作,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,即:,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,因随机变量,X,在,2,5,上服从均匀分布,则,X,的概率密度,:,解,:,独立观测,试求至少有,2,次观测值大于,3,的概率,.,设随机变量,X,在,2,5,上服从均匀分布,现对,X,进行,3,次,例,4-4-1(1989),观测值大于,3,的概率,:,3,次观测中有,2,次观测值大于,3,的概率为,:,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,某仪器装有,3,只独立工作的同型号电子元件,其寿命,(,单位,:h),都服从同一指数分布,概率密度为,:,例,4-4-3(1989),:,第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,试求,:,在仪器使用的最初,200,小时内至少有一只元件损坏的概率,.,解,设随机变量,X,表示电子元件的寿命,(,单位,:h),P(A)=P,( 0, X 200 ),第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数,
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