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,概率统计,下页,结束,返回,1.2,概率的定义,一、频率,三、概率的一般定义与性质,二、概率的统计定义,下页,一、频率,1.,随机事件的发生可能性有大小之分,投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小,“出现点数”；,“出现偶数点”,频率的定义：,如果在,n,次重复试验中事件,A,发生了,r,次，则,称比值,r/n,为事件,A,在,n,次试验中发生的频率，记为,f,n,(,A,),即,f,n,(,A,),2,.,随机事件的发生频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小,下页,一、频率,大量次的观察发现，事件发生的频率具有稳定性,3.,频率具有稳定性,例,1.,抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律,实 验 者,总次数,正面次数,f,n,(,H,),蒲 丰,4040,2048,0.5070,K.,皮尔逊,12000,6019,0.5016,K.,皮尔逊,24000,12012,0.5005,下页,二、概率的统计定义,频率的性质：,.0,f,n,(,A,)1;.,f,n,(,)=1,.,若,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是两两互不相容的事件，则,概率有哪些性质？先考察一下频率的性质,下页,定义,1,在一组不变的条件下，重复进行,n,次试验，事件,A,发生了,n,A,当,n,很大时，频率,f,n,(,A,),稳定地在一数值,p,附近摆动，且这种摆动幅度随着试验次数的增加有愈来愈小的趋势，我们就称数值,p,为随机事件,A,的,概率,，记为,P,(,A,),，即,P,(,A,)=,p.,三、概率的一般定义与性质,1.,概率的一般（公理化）定义,定义,2,设,E,是随机试验，,是它的样本空间对于,E,中的每一事件,A,对应于一个实数,P,(,A,),称,P,(,A,),为事件,A,的概率如果,P,(,A,),满足下列三个条件：,(1),非负性,P,(,A,)0;,(2),规范性,P,(,)=1;,(,3),可列可加性,对于两两互不相容的可数个事件,A,1,，,A,2,，,，有,下页,三、概率的一般定义与性质,性质,1,P,(,)=0,2.,概率性质,证明：,令,A,n,=,(,n,=1,2,),，,则,=A,1,A,2,，,且,A,i,A,j,=,(,ij,，,i,j,=1,2,),由可列可加性,有,P,(,),=P,(,A,1,A,2,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+=,P,(,)+,P,(,)+,再由,P,(,)0,得，,P,(,)=0,下页,三、概率的一般定义与性质,性质,2,若,A,1,A,2,A,n,是两两互不相容的事件，则有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,n,),2.,概率性质,证明：,令,A,n+,1,=A,n+,2,=,，即有,A,i,A,j,=,(,ij,，,i,j=,1,2,),由可列可加性,有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,n,)+,P,(,)+,=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,n,),下页,三、概率的一般定义与性质,性质,3,设,A,是,A,的对立事件，则,P,(,A,)=,1-,P,(,A,),A,A,证明：,由于,A,A,=,，,A,=,f,，,所以有,P,(,)=,P,(,A,)+,P,(,A,),，,2.,概率性质,下页,三、概率的一般定义与性质,则,P,(,B,A,)=P(,B,),P,(,A,),证明：,由于,B,=,A,(,B,A,),且,A,(,B,A,)=,P,(,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,A,),于是,P,(,B,A,)=,P,(,B,),P,(,A,),推论,(,B,-,A,)=,P,(,B,)-,P,(,AB,),A,B,推论,若,，,则,P,(,B,),P,(,A,),性质,4,设,A,、,B,为二事件，若,性质,5,设任意两个事件,A,、,B,，,则,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,),证明,:,由右图,1,可知,A,B,=,A,(,B,AB,),且,由概率可加性及性质,4,得,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,AB,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,）,A,(,B,AB,)=,，,AB,推论,1,P,(,A,B,）,P,(,A,)+,P,(,B,),推论,2,设随机事件,A,1,，,A,2,，,A,3,，则,A,1,A,2,A,3,下页,三、概率的一般定义与性质,推论,3,设,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是,n,个随机事件，则,下页,三、概率的一般定义与性质,例,1.,求证,证明,:,由于,且 与 互不相容，于是,下页,例,2.,设,A,、,B,为两个随机事件,且,P,(,A,)=,p,P,(,B,)=,q,P,(,AB,)=,r,求下列各事件的概率：,(2),(3),解,:,(1),下页,解：,例,3.,已知,P,(,A,)=,P,(,B,)=,P,(,C,)=1/4,P,(,AB,)=,P,(,BC,)=0,P(,AC,)=,1/8,求,A,B,C,都不发生的概率,下页,作业：,页,1,4,，,5,结束,
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