第二节边缘分布

单击此处编辑母版标题样式,概率统计,第二节 边缘分布,边缘分布概念的引出,注意到:,积出的是变量 t 的函数,内层为广义积分,分布函数的定义,分布函数的连续性,一. 边缘分布的定义,则,分别,称为,二维随机变量 (X,Y),关于 X,和,关于 Y,的,边缘分布函数.,二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量,则 X,边缘分布函数,边缘分布律,设 为 X,Y 的联合分布函数，,已知,为,的联合分布律,边缘分布律,注:,三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量,边缘分布函数,则 Y,表示是由 关于 求和得到的； 表示是,由 关于 求和得到的.,已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度,及联合分布函数,那么 X 的,边缘分布函数:,边缘概率密度:,那么 Y 的,边缘分布函数：,边缘概率密度:,把一枚均匀硬币抛掷三次，设,X,为三次抛掷中正面出现的次数，,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求：(,X,Y)的联合分布律, X, Y可取值：(0,3), (1,1), (2,1), (3,3),P(X=0, Y=3,P(X=1, Y=1,P,(,X,=2,Y,=1)=3/8,P,(,X,=3,Y,=0)=1/8,列表如下,例1,解：,二维联合分布律全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 那么此例中二者之间的关系怎么表达呢？,从表中不难求得:,P,(,X,=0)=1/8,P,(,X,=1)=3/8,P,(,X,=2)=3/8,P(,X,=3)=1/8,P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1,P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3,注意这两个分布正好是,表中的行和与列和.,问：,=3/8+3/8=6/8,P,(,Y,=1)=,=1/8+1/8=2/8.,P,(,Y,=3)=,如下表所示,习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词,.,2.,由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分,布律一般不能确定联合分布律,.,注意：,设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地,取值；另一随机变量Y 在 1 X 中等可能地取一整数,解:,由边缘分布律的定义，可知先得求出 (X,Y),的联合分布律,x=1时，y只有,一个值，故对y 来说是必然事 件，其概率为1,例2.,求:,二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律,与,X=1时, y 的值取不到2,故对y 来说是不可能事件,其概率为0,的,联合分布律,为,：,X,Y,设(X,Y) 均匀分布在由直线 ，x 轴,和y 轴所围成的区域 D 上.,求:,(X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度.,解:,例3.,所以其概率密度为：,因为,服从均匀分布,(1).,由题意可知 D 域图为:,1,x,y,0,2,D,(2). 因为边缘概率密度为:,那么得:,同理可得:,或,时,时,例4.,设二维随机变量(X, Y)的概率密度为：,求:,二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度,解:,由于:,于是:,令：,那么有：,同理有：,从而可得出：由 X 和 Y 的边缘分布一般是不能 确定 X 和 Y 的联合分布的.,结论,二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给定的 ，不同的 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。,