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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线上一点处的切线,1,问题情境：,1.,平均变化率的定义是什么？它的意义是什么？,一般地，函数,f,(,x,),在区间,x,1,x,2,上的,平均变化率,为,f,(,x,2,),f,(,x,1,),x,2,x,1,2,问题情境：,2.,平均变换率刻画了曲线在某区间的陡峭程度,.,1.,平均变化率量化了变化的快慢,.,3,试作出,y,=,x,2,，,y,=,x,3,，在区间,的图象，并分别求出它们在,区间,0,1,的平均变化率,.,4,问题,1,：根据计算你有什么发现？,5,2.,用平均变化率来刻画一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”,.,不能反映出曲线在每一点的变化趋势,.,问题,1,：根据计算你有什么发现？,3.,它反映了曲线在某区间的整体变化趋势，,1.,以直,线的斜率,代,表了,曲,线的陡峭程度,.,6,问题,2,：如何精确地刻画曲线上某点处的变化趋势呢？,重要思想：以直代曲,通过放大点,P,附近的曲线，我们会发现曲线在点,P,附近看上去几乎成了直线,.,如果继续放大，那么曲线在点,P,附近将逼近一条确定的直线,.,因此，在点,P,附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，在点,P,附近，曲线可以看做直线,.,我们就可以用这条直线的斜率来刻画曲线经过点,P,时上升或下降的变化趋势,.,7,问题,3,：在之前的学习过程中，你有类似的经历吗？,8,9,生活中有类似的体会吗？,10,11,建构数学：,切线定义,:,如图，设,Q,为曲线,C,上不同于,P,的一点，直线,PQ,称为曲线的,割线,随着点,Q,沿曲线,C,向点,P,运动，割线,PQ,在点,P,附近逼近曲线,C,，当点,Q,无限逼近点,P,时，直线,PQ,最终就成为经过点,P,处最逼近曲线的直线,l,，这条直线,l,也称为曲线在点,P,处的切线,这种方法叫割线逼近切线,12,建构数学：,问题,4,：我们已经从,“,形,”,的角度上感受到切线的存在，能从,“,数,”,的角度求出这条直线吗？,13,数学应用：,例,1.,试求,f,(,x,)=,x,2,在,x,=2,处的切线斜率,.,问题,5,：解析几何中我们是如何完成的？,我们又有什么新方法？,割线逼近切线！,我们用切线的斜率来刻画了曲线经过点,P,时的变化趋势，因此我们把曲线在点,P,处的切线斜率称为曲线在点,P,处的,瞬时变化率,.,14,数学应用：,变式,1,：,求,f,(,x,)=,x,2,在,x,=,a,处的切线斜率,.,变式,2,：,求,f,(,x,)=,x,2,斜率为,2,的切线方程,.,15,问题,6,：你能将该方法推广到一般函数吗？,如何求出函数,y,=,f,(,x,),在点,P,(,x,0,f,(,x,0,),处的切线斜率？,1.,设函数图象上另一点,2.,割线,PQ,的斜率,3.,当 无限趋近于,0,时，,k,PQ,无限趋近于点,P,处的切线斜率,数学应用：,16,试一试：利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点,P,处的切线,思考：（,1,）能用直线与曲线公共点的个数判定直线和曲线相切吗？,（,2,）曲线一定在切线的一侧吗？,数学应用：,17,试一试：我们已经学过很多函数，你能给同桌出一个类似的求切线斜率的题吗？,数学应用：,18,课堂小结：,1.,一个概念：,切线,2.,一种方法：,割线逼近切线,3.,几种思想：,以直代曲,无限逼近,量变到质变,有限到无限,近似与精确,数形结合,19,没有哪门学科能比数学更为清晰阐明自然界的和谐性,保罗卡卢斯,用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界,史宁中,课堂小结：,20,课后小任务：,1.,查阅资料，简单了解魏晋时期数学家刘徽的割圆术,.,2.,查阅资料，简单了解微积分的发展史,.,21,谢谢各位！,22,
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