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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分类讨论思想,一. 数学思想方法的三个层次:,数学思想和方法,数学一般方法,逻辑学中的方法(或思维方法,),数学思想方法,配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等,分析法、综合法、归纳法、反证法等,函数和方程思想、,分类讨论思想,、数形结合思想、化归思想等,分类讨论思想,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为根底，比较是分类的前提，分类是比较的结果。,分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。,分类讨论思想,分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。,分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点直线、圆与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。,一.与概念有关的分类,1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是,-3x 6，相应的函数值的取值范围是,-5y-2 ，那么这个函数的解析式 。,-5=-3k+b,-2=6k+b,-5=6k+b,-2=-3k+b,解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3,2. 函数y=ax,2,-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。,当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- ，0）；,当a不为0时,为二次函数y=ax,2,+(3-a)x+1, =a,2,-10a+9=0.,解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ，0）,二.图形位置的分类,如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,探索题1:,探索题:,在以下图三角形的边上找出一点，使得该点与,三角形的两顶点构成等腰三角形！,B,A,C,50,110,20,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,C,A,B,A,C,B,20,20,20,20,C,A,B,50,50,C,A,B,80,80,20,C,A,B,65,65,50,C,A,B,35,35,110,分类讨论,B,A,C,50,110,20,3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上，且AOC=300，点P是直线AB上的一个动点与点O不重合，直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出OCP的度数。,A,B,C,P,O,Q,解：OQ=OC，OQ=QP OQC=OCQ，QOP=QPO 设OCP=x0 , 那么有：,（2）如果点P在线段OB上，显然有PQOQ，所以点P不可能在线段OB上。,（1）如上图， 当点P在线段OA上时， OQC=OCP=x,QPO= （180,0,OQP）= （180,0,x),又QPO=OCP+COP， (180,0,x)=x+30,0,解得x=40,0, 即OCP=40,0,O,Q,C,P,B,A,Q,P,O,C,B,A,（3）如图，当点在的延长线上时，,OQC=OCQ=180,0,，,OPQ= （180,0,x)= x.,又QCO=CPO+COP，180,0,x=x+30,0,解得x=100,0,即OCP=100,0,（4）如图当在的延长线上时，,OQC=OCQ=x,OQC=QPO+QOP,QPO= OQC= x,又COA=OCP+CPO, 解方程30=x+ x,得到x=20,0,即OCP=20,0,C,B,A,4在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是 、 ，,那么BAC的度数是 。,5ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，,若BC=2 cm,则角A的度数是,。,C,A,B,C,C,B,A,6在ABC中，C=900，AC=3，BC=4。假设以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，那么R的值为多少？,A,C,B,B,A,C,C,B,A,7.半径为R的两个等圆外切，那么半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？,8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上，请你计算剪下的等腰三角形的面积？,图1,图2,图3,解：分三种情况计算：,当AE=AF=5厘米时图一,当AE=EF=5厘米时图2,当AE=EF=5厘米时图3,三.与相似三角形有关的分类,9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间0x6那么：,1当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？,2求四边形QAPC的面积；,提出一个与计算结果有关的结论；,3当t为何值时，以点Q、,A、P为顶点的三角形与ABC相似？,Q,P,A,D,C,B,解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,QA=6，当=AP时，QAP为等腰直 角三角形，即6t=2t,解得t=2秒,（3）根据题意，可分为两种情况来研究,在矩形ABCD中：当 = 时，QAPABC，则 = ，,解得t= =1.2秒。所以当t=1.2秒时，QAPABC。,当 = 时，PAQABC，则 = ，,解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，PAQABC。,（2）在QAC中，S= QADC= （ 6t)12=36,在APC中，S= APBC= ,QAPC的面积S=（6t)+6t=36(cm,2,),由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，,四边形QAPC的面积始终保持不变。,Q,P,A,D,C,B,10。二次函数的图像与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点,直线与轴交于点。,求、三点的坐标；,在直线上有一点点在第一象限，使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似，求点的坐标。,解1A1，0，B1，0，C，2,当 PDB COB时，,有Pm, 2m2；,(2) 当,PDB,BOC时， =,有（，）,P,11. 如下图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，,AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为秒。1设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；,2当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求,3当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？,的正切值；,(4)是否存在时刻t，使得PQBD？假设存在，求出 t的值；假设不存在，请说明理由。,解：1如图1所示，过点P作，,垂足为M，那么四边形PDCM为矩形。,（,2）如图2所示，由,得：,图,图,图1,
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