二次函数的应用(教育精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次函数在生活中的应用,周至县临川寺中学数学组,教学目标,【,知识与能力,】,【,过程与方法,】,生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。,通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力。,在转化、建模中，学会合作、交流。,通过图形间的关系，进一步体会函数，体验运动变化的思想,通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。,在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神。,正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。,【,情感态度与价值观,】,教学重难点,利用二次函数解决商品利润问题。,用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题。,建立二次函数数学模型，函数的最值。,通过图形之间的关系列出函数解析式。,喷泉与二次函数,一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子,OA,，,O,恰在水面中心，,OA=1.25m,，由柱子顶端,A,处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在,离,OA,距离为,1m,处,达到距水面,最大高度,2.25m,.,如果不计其它因素，那么水池的,半径,至少要多少,m,才能使喷出的水流不致落到池外？,实际问题,根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径,至少要,2.5m,，才能使喷出的水流不致落到池外,.,解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，,A,点坐标为,(0,，,1.25),，顶点,B,坐标为,(1,，,2.25),当,y=0,时,可求得点,C,的坐标为,(2.5,0),;,同理，点,D,的坐标为,(-2.5,0),.,设抛物线为,y=a(x-h),2,+k,，由待定系数法可求得抛物线表达式为：,y=,(x-1),2,+2.25,.,数学化,x,y,o,A,B(1,2.25),(0,1.25),C(2.5,0),D(-2.5,0),跳水与抛物线,某跳水运动员进行,10,米跳台跳水训练时,身体,(,看成一点,),在空中的运动路线是经过原点,O,的一条抛物线,.,在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面,32/3,米,入水处距池边的距离为,4,米,同时,运动员在距水面高度为,5,米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误,.,(1),求这条抛物线的解析式；,(2),在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是,(1),中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为,18/5,米,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由,.,平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线,.,如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的,手间距为,4,米,距地面均为,1,米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离,1,米、,2.5,米处,绳子到,最高处时刚好通过他们的头顶,.,已知学生,丙,的身高是,1.5,米,求学生丁的身高？,甲,乙,丙,丁,跳绳与抛物线,最大利润问题,某商店经营,T,恤衫,已知成批购进时单价是,2.5,元,.,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系,:,在某一时间内,单价是,13.5,元时,销售量是,500,件,而单价每降低,1,元,就可以多售出,200,件,.,请你帮助分析,:,销售单价是多少时,可以获利最多,?,实际问题,设销售价为,x,元,(x13.5,元,),那么,销售量可表示为,:,件,;,销售额可表示为,:,元,;,所获利润可表示为,:,元,;,当销售单价为,元时,可以获得最大利润,最大利润是,元,.,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,18,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,（,1,）题目中有几种调整价格的方法？,（,2,）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？,调整价格包括涨价和降价两种情况,涨价：,（,1,）,设每件涨价,x,元，则每星期售出商品的利润,y,也随之变化，我们先来确定,y,与,x,的函数关系式。涨价,x,元时则每星期少卖,_,件，实际卖出,_,件,销额为,_,_,元，买进商品需付,_,_,_,元因此，所得利润为,_,_,_,元,10 x,(300-10 x),(60+x)(300-10 x),40(300-10 x),y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x),即,(0,x,30),(0,x,30),所以，当定价为,65,元时，利润最大，最大利润为,6250,元,解：设降价,x,元时利润最大，则每星期可多卖,18x,件，实际卖出（,300+18x),件，销售额为,(60-x)(300+18x),元，买进商品需付,40(300-10 x),元，因此，得利润,答：定价为 元时，利润最大，最大利润为,6050,元,(0,x,20),最大面积问题,在一个直角三角形的内部作一个矩形,ABCD,，其中,AB,和,AD,分别在两直角边上,.,（,1,）如果设矩形的一边,AD=xcm,那么,AB,边的长度如何表示？,（,2,）设矩形的面积为,ym,2,当,x,取何值时,y,的最大值是多少,?,A,B,C,D,M,N,40cm,30cm,bcm,xcm,某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长,(,图中所有的黑线的长度和,),为,15m.,当,x,等于多少时,窗户通过的光线最多,(,结果精确到,0.01m)?,此时,窗户的面积是多少,?,x,x,y,最多光线问题,（,1,）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式,.,（,2,）研究自变量的取值范围,.,（,3,）研究所得的函数,.,（,4,）检验,x,的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值,.,（,5,）解决提出的实际问题,.,解决关于函数实际问题的一般步骤,课堂小结,（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）,1.,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线,AOB,）的薄壳屋顶。它的拱高,AB,为,4m,，拱高,CO,为,0.8m,。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢,?,随堂练习,x(,元,),15,20,30,y(,件,),25,20,10,若日销售量,y,是销售价,x,的一次函数。（,1,）求出日销售量,y,（件）与销售价,x,（元）的函数关系式；（,2,）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？,2.,某产品每件成本,10,元，试销阶段每件产品的销售价,x,（元）与产品的日销售量,y,（件）之间的关系如下,:,（,2,）设每件产品的销售价应定为,x,元，所获销售利润为,w,元。则,产品的销售价应定为,25,元，此时每日获得最大销售利润为,225,元。,则,解得：,k=,1,，,b,40,。,（,1,）设此一次函数解析式为 。,所以一次函数解析为 。,设旅行团人数为,x,人,营业额为,y,元,则,3.,某旅行社组团去外地旅游,30,人起组团,每人单价,800,元,.,旅行社对超过,30,人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低,10,元,.,你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？,4.,某宾馆有,50,个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天,180,元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加,10,元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出,20,元的各种费用,.,房价定为多少时，宾馆利润最大？,解：设每个房间每天增加,x,元，宾馆的利润为,y,元,y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10),y=-1/10 x2+34x+8000,5.,某个商店的老板，他最近进了价格为,30,元的书包。起初以,40,元每个售出，平均每个月能售出,200,个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨,1,元，每个月就少卖出,10,个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？,解：以,AB,的垂直平分线为,y,轴，以过点,O,的,y,轴的垂线为,x,轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是,y,轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：,（,1,）,因为,y,轴垂直平分,AB,，并交,AB,于点,C,，所以 ，又,CO,0.8m,，所以点,B,的坐标为,(2,，,-0.8),。,因为点,B,在抛物线上，将它的坐标代入（,1,），得 所以,a,-0.2,因此，所求函数关系式是 。,6.,某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱,40,元，市场调查发现：若每箱以,50,元销售,平均每天可销售,100,箱,.,价格每箱降低,1,元，平均每天多销售,25,箱,;,价格每箱升高,1,元，平均每天少销售,4,箱。如何定价才能使得利润最大？,若生产厂家要求每箱售价在,4555,元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）,7.,有一经销商，按市场价收购了一种活蟹,1000,千克，放养在塘内，此时市场价为每千克,30,元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升,1,元，但是，放养一天需各种费用支出,400,元，且平均每天还有,10,千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克,20,元（放养期间蟹的重量不变）,.,设,x,天后每千克活蟹市场价为,P,元，写出,P,关于,x,的函数关系式,.,如果放养,x,天将活蟹一次性出售，并记,1000,千克蟹的销售总额为,Q,元，写出,Q,关于,x,的函数关系式。,该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润,=,销售总额,-,收购成本,-,费用）？最大利润是多少？,习题答案,（,1,）有最高点 ；有最低点,.,65,元,.,600m.,AB,的中点处,.,AB,的中点处,.,每天,350,元,.,总结：,谈谈你在本节课中的收获有哪些？,