第1章--时域离散信号和时域离散系统-1.1-1.3

,*,第,1,章 时域离散信号和时域离散系统,第,1,章 时域离散信号和时域离散系统,*,第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.1,引言,1.2,时域离散信号,1.3,时域离散系统,1.4,时域离散系统的输入输出描述法,线性常系数差分方程,1.5,模拟信号数字处理方法,1.1 引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。,如果仅有一个自变量， 则称为 一维信号；,如果有两个以上的自变量， 则称为 多维信号。,信号的自变量：,时间、距离、温度、电压、,位置,等。,（一般看作时间的函数）,本课程仅研究,一维数字信号处理,的理论与技术。,本章主要学习：,表示方法和典型信号,; LTI,的因果性和稳定性,系统的输入输出描述法,;,线性常系数差分方程的解法。,模拟信号数字处理方法。,复习,极限存在的充要条件,：,左右极限存在且相等,连续：若,lim（xx,0,） f(x),=,f(x,0,),则称,函数f(x)在点x,0,处连续。,不连续,/,间断：,1,）在点,x=x,0,没有定义；,2,）虽在,x=x,0,有定义但,lim（xx,0,）,f(x)不存在；,3,）虽在,x=x,0,有定义且,lim（xx,0,）,f(x)存在，,但,lim（xx,0,）,f(x) f(x,0,)时,则称函数在,x,0,处不连续或间断,（,即,x,0,为间断点,）,信号：传递信息的函数,/,独立变量的函数,;,分类：,时间连续信号,（简称,连续信号,）,时间离散信号,（简称,离散信号,）,（,“,连续,”,与“,离散,”都是相对于,时间,而言）,1,、连续信号：,任意时间点都有确定的函数值（,即有定义,）,(,函数值可连续也可离散,),1,） 若函数值是,连续的，称为,模拟信号,2,）若函数值是,离散的，称为,量化信号,模拟信号,量化信号（阶梯）,连续信号,的两种情况：量化信号、模拟信号,2.,离散信号：只在某些离散的时间点取值（自变量是离散的）,（函数值可连续可离散）,1,）,采样信号,：幅度取值无限制，即,幅度取值,值域,是,连续,的,（,可取无限多个幅值,，,没有,被限制在,有限个数值,之内）,(,不是指,采样值是连在一起的）,2,）,数字信号：幅度取值,被,限制在有限个数值之内，,是离散的。,（,如二进制码）,两种情况,：采样信号、数字信号,采样信号,数字信号,时间离散，幅值连续,时间离散,.,幅值离散,在,其它处,没有定义,（间断）,函数f(x)在点x,0,处连续,（,时间离散，幅度尚未离散,）,幅值离散,模拟信号,（表示模拟量）,连续,离散,量化信号（等级化）,采样信号,数字信号,（表示数字量）,幅值连续,时域,采,样,编码量化,零,阶,保,持,平滑滤波（低通）,(,低通）,图,+,解,码,图,x,a,(t),x,a,(t),时域,（离散）,1.2,时域离散信号,一、概念：,一个时域离散信号,（,离散时间信号,）,记为,x(n,),或,x,(,n,),，简称,序列（,n,的函数）,n,：顺序号、取整数，,非整数无定义,。,特点：时间上不连续，只在离散点有定义,数值可实可复,二、序列获取方法：,1.,采样,（,实际采样、理想采样,）,对,模拟信号,x,a,(t,),进行,等间隔（,间隔为,T,）,采样,得到,x,(,n,)=,T-,采样周期,Fs-,采样频率,s-,采样角频率,s=2,Fs,-,模拟角频率,=2,f,Fs=1/T,数字角频率,=,T,=,/Fs,=2,f/Fs,P7,n,：顺序号、取整数,x,(,n,),的图形表示,采样（,时域离散化,）,量化（,幅值离散化,）,编码,数字信号,模拟信号,x(n),的三种表示方法：,公式、图形、集合。,2.,观测,如果,x(n),是通过观测得到的一组离散数据，,则可用,集合表示,，如：,x(n)=,1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,3.,自然产生：,如每日股票市场价格,/,人口统计数,/,仓库存量等。,1.2.1,常用的典型序列,1.,单位,采样,序列,(n),（,取样,/,抽样,/,脉冲,）,1,，,n=0,0,，,n0 (1.2.2),(n),=,画出,(n-n,0,),（,n,0,=3,、,n,0,=-2,）的图形,名称,单位冲激函数 单位采样序列,公式,(,t,)=,(,n,) = 0,性质,连续时间 离散时间,非现实理想信号 现实序列,比较：,(n),和,(t),？（名称、公式、性质、图形）,P6,单位冲击函数,（单位脉冲函数,）,(t),0,t,0,t,(1),(t),2.,单位阶跃序列,u(n),1,n0,0,n,0,(1.2.3),单位阶跃函数,u(n)=,u(t),u,比较,u(n),和,u(t),？（名称、公式、性质、图形）,画图表示,u(n-n,0,),和,u(t-t,0,),？,u(n),与,(n),的关系,(1.2.6),u(t-t,0,),u,3.,矩形序列,R,N,(n),1, 0nN-1 N,：矩形序列的长度,0,，其它,n (1.2.7),R,N,(n)=,R,N,(n),与,u(n),的关系（）,R,N,(n),与,(n),的关系,:,N=4,(0n3),4.,实指数序列,x(n)=a,n,u(n),，,a,为实数,如果,|a|1,，则称为,发散序列,。其波形如图所示。,a,为负数时，序列是摆动的。 如图所示。,y=ax(a0且1) (xR).,5.,正弦序列,x(n)=sin(n) P7, :,数字角频率,/,数字域频率,/,数字频率（弧度）,意义：表示,序列,变化的速率,/,即,相邻两个,序列值,之间变化的弧度数。,：模拟角频率；,=2f,，,f,模拟频率；,: =T,s,=,/,F,s,F,s,采样频率,T,s,采样周期,s,:,采样角频率；,s,=2F,s,画出,=0.1,时,x(n),的序列图 ？,（三种表示方法）,n,-10 / -5,/ 0 / 5 /10,sin(0.1n),sin(-)/ sin(- 1/2)/ 0,/ sin(1/2) /sin(),该序列值,每隔,20,个,重复一次循环,(,N=20,),第,1,个点,(n=-10),第,20,个点,(n=10),n=0,0,=0.1,=2/20,=2/N,基波,(,最小频率分量,),即,1,次谐波的,角频率,数字周期：,N=,（,2/,0,）,k,基波,/1,次谐波周期,:,N=2/,0,(k=1),n=-,5,n=,5,第,21,个点,6.,复指数序列 ：,序列值为复数,x(n)=Ae,(+j,0,)n,0,：,复正弦序列,的数字域频率,=Ae,n,e,j,0,n,=e,n,A e,j,0,n,（,、,0,为实数）,设,=0,两种表示方法： （,=0,时 称为 虚指数序列）,（,1,）,x(n)=Ae,j,0,n,极坐标,（,2,）,x(n)=Acos(,0,n)+j Asin(,0,n),实部虚部表示,注：由于,n,取整数，下面等式成立 ？,e,j(0+2M)n,= e,j,0,n, M=0,1,2,7.,周期序列,定义：如果,对所有,n,存在一个最小的,正整数,N,，,使下面等式成立：,x(n)=x(n+N), -n0,时为,x(n),的,延时序列,右移？,n,0,0,时，序列右移；,n0,时，序列左移；,相乘相加：将,x(m),和,h(n-m),中相同,m,的序列值对应相乘后，再,相加。按照以上三个步骤可得到卷积结果,y(n),。,列表法：,表,解析法：例,1.3.5 P14,解 按照,(1.3.7),式，,矩形序列长度为,4,，,R,4,(m),的非零值区间为：,0m3,R,4,(n-m),的非零值区间为：,0n-m3,其乘积值的非零区间：,0m3,，,n- 3m n,讨论：,卷积过程以及,y(n),波形如图所示；,y(n),用公式表示为,n+1 0n3,y(n)= 7-n 4n6,0,其它,图,1.3.2,例线性卷积,翻转,右移1位,右移2位,右移.位,h(m),x(m),x(,n,),h(,n,),h(,0-,m),h(,1-,m),h(,2-,m),换元,线性卷积性质,交换律：,x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8),结合律：,x(n)*,h,1,(n)*h,2,(n),=(x(n)*h,1,(n)*h,2,(n) (1.3.9),分配律：,x(n)*,h,1,(n)+h,2,(n),=x(n)*h,1,(n)+x(n)*h,2,(n) (1.3.10),图,1.3.3,卷积的结合律和分配律,重要结论：,任何序列与单位采样序列的线性卷积都等于该序列本身,：,表示为：,序列与一个移位的单位取样序列,(n-n,0,),的卷积，就相当于,将序列本身移位,n,0,(n,0,是整常数,),。,表示为：,(1.3.11),（）,x(n-n,0,)=x(n)*(n- n,0,),（）,例在图中，,h1(n),系统与,h2(n),系统级联，设,x(n)=u(n),h,1,(n)=(n)-(n-4),h,2,(n)=a,n,u(n),，,|a|1,求系统的输出,y(n),。,图,1.3.4,例框图,解：先求第一级的输出,m(n),，再求,y(n),。,m(n)=x(n)*h,1,(n),=u(n)*,(n)-(n-4),=u(n)*(n)-u(n)*(n-4),=u(n)-u(n-4),=R,4,(n),y(n)=m(n)*h,2,(n) =R,4,(n)*a,n,u(n),=a,n,u(n)*,(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3),=a,n,u(n)+a,n-1,u(n-1)+a,n-2,u(n-2)+a,n-3,u(n-3),系统的因果性和稳定性,1.,因果系统,:,系统,n,时刻的输出，只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列,，,而和,n,时刻以后的输入序列无关,。,或者：当且仅当,信号激励,系统时，才产生响应的系统。,（也 称为,不超前,响应系统）,因果性代表系统的可实现性。,2.,LTI,为,因果系统,的,充要条件,(,仅适用于,LTI,系统）,h(n)=0,，,n0 (1.3.13),（,因果序列,：满足,x,(,n,)=0,，,n,0,的序列 ）,图,1.3.5,非因果系统的延时实现,稳定系统,有界输入产生有界输出（,BIBO,）的系统。,（有界：指幅值）,有界输入：,|,x,(,n,)|,B,x,（对所有,n,值，存在正有限值,B,x,）,有界输出：,|,y,(,n,)|,B,y,（对每个有界输入，对于所有,n,值，存在正有限值,B,y,）,LTI,为稳定系统的充要条件,：,即：系统的 单位取样响应,h(n),绝对可和,(1.3.14),(1.3.14),证明,先证明充分性,。,LUE,LUE,因为输入序列,x(n),有界，即,|x(n)|B,-n,，,B,为任意常数,如果系统的单位取样响应,h(n),满足,(1.3.14),式，那么输出,y(n),一定也是有界的，即,|y(n)|,LUE,下面用反证法证明其必要性。如果,h(n),不满足,(1.3.14),式，即 ，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：,x(n)=,令,n=0,例设线性时不变系统的单位取样响应,h(n)=a,n,u(n),，式中,a,是实常数，试分析该系统的,因果稳定性,。,解：,（,1,）,LTI,为因果系统,的,充要条件,h(n)=0,，,n0 (1.3.13),本例,：,n0,时，,h(n)=0-,因果系统。,只有当,|a|1,时,（,2,）,LTI,为稳定系统的充要条件,(1.3.14),本例：,稳定,例,1.3.8,设系统的单位取样响应,h(n)=u(n),，求对于,任意输入序列,x(n),的输出,y(n),，并检验系统的因果性和稳定性。,解：,因果性：,h(n)=u(n),因果系统,因果、不稳定系统,稳定性：,不稳定系统,注：,要证明,系统不稳定，,只需找一个,特别的有界输入,，如果此时能得到一个无界的输出，就一定能判定一个系统是不稳定的。,要证明,系统是稳定的,，就,不能只用某一个特定的输入作用来证明,，而要利用在,所有有界输入下,都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。,稳定因果系统,既是可实现的，又是稳定的。,（一切数字系统设计的目标）,课堂练习,1,、以下序列是,LTI,系统的单位序列响应,h(n),，判断系统的因果性和稳定性。,（,1,）非因果、稳定,（,2,）非因果、不稳定。,课堂练习,u(n)-u(n-3)= R,3,(n),向前差分,课堂练习,3,、判断题：,1),一个系统是因果系统的充要条件是,单位序列响应,h(n),是因果序列。,2),h(n),为因果序列时的系统为因果系统。,答案： 错,充要条件,：仅适用于,LTI,课堂练习,4,、,将序列,x(n),用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 。,思考题,：设系统的输出、输入关系为：,y,（,n,）,=Tx,（,n,）,=x,（,n,）,sin(2n/T+/6),判定：,线性,因果性,时不变性,稳定性。,解,: Tx,1,(n)=x,1,(n)sin(2n/T+/6),Tx,2,(n)=x,2,(n) sin (2n/T+/6), Tax,1,(n)+bx,2,(n)=ax,1,(n)+bx,2,(n)sin(2n/T+/6),而,aTx,1,(n)+bTx,2,(n)=ax,1,(n)+bx,2,(n)sin(2n/T+/6), Tax,1,(n)+bx,2,(n)= aTx,1,(n) +bTx,2,(n),系统是线性的。,结论：是 线性、时不变性,因果、稳定系统, Tx(n-n,0,)=x(n-n,0,)sin(2n/T+/6),而,y(n-n,0,)=x(n-n,0,)sin(2(n-n,0,)/T+/6), Tx(n-n,0,)y(n-n,0,),系统是时变的。, 如,x,（,n,）有界，即,x,（,n,）,M,，则,Tx(n)Msin(2n/T+/6),，有界，系统是稳定的。,y,（,n,）,=x,（,n,）,sin(2n/T+/6),只与,x,（,n,）的当前值有关，而与,x,（,n+1,）、,x,（,n+2,）等未来值无关，系统是因果的。,