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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,征,=,=,数,字,特,1,征,=,=,数,字,特,*,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,(,均值,),(Mathematical expectation),方差,(,Variance),协方差及,相关系数,(,Covariance,correlation coefficient),矩,、,协方差矩阵,(moment,Covariance matrix,),能描述随机变量某些方面特征的,数字。,其中，最常用的是,:,期望和方差,1,数学期望,(,Mathematical expectation,),一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、随机变量的函数的数学期望,四、数学期望的性质,五、数学期望性质的应用,求平均每天乘客数.,引例,:,为调整车辆,对某公共汽车站的乘客数进行了20天的观察,其结果为:,=(3902+4004+4107+4205+4301+4401)/20,解:,20天中,平均每天乘客数为,这里2/20，4/20是“乘客数为390人”“乘客数为400人”的,频率,，若将其视为相应的,概率,则可建立如下模型(,X,表示日乘客数,)：,=3902/20+4004/20+4107/20+4205/20+4301/20+4401/20=411,一、离散型随机变量的数学期望,乘客数,390,400,410,420,430,440,天数,2,4,7,5,1,1,X,390,400,410,420,430,440,p,k,2/20,4/20,7/20,5/20,1/20,1/20,定义,1,设离散型,r.vX,的分布律为：,若级数 绝对收敛，则称级数的和为,r.v,X,的,数学期望，,简称,期望或均值,，记为,E,(,X,),，即,(1),（,3,）,注,（,1,）,（,2,）,与求和顺序无关。,同时保证了,收敛，,绝对收敛，不仅保证了,级数,E,(,X,),p,x,p,x,k,k,k,k,k,k,=,=,1,1,（,4,）,E(X),反映了随机变量,取值的平均水平,.,设两人的日产量相等,问谁的技术更好?,故乙的技术好。,例1,：,甲、乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是：,解：,E(X,1,)=00.4+10.3+20.2+30.1=1,E(X,2,)=00.3+10.5+20.2+30=0.9,例2：,解：,令,m,=,k,-1,工人,甲,乙,X,1,X,2,废品数,0,1,2,3,0,1,2,3,概率,p,k,0.4,0.3,0.2,0.1,0.3,0.5,0.2,0,例3,：,设,X,服从几何分布，即,解,求和与求导,交换次序,等比级数求和,注：,E,(,X,),不存在的例子：,若,E(X),存在，则是一个确定的实数.,发散,X,2,4,8,2,n,p,k,1/2,1/4,1/8,1/2,n,P,91,例,5,在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验,N,个人的血,可以用两种方法进行,:,如果混合血液呈阴性反应,就说明,k,个人的血都呈阴性反应,若呈阳性,则对这,k,个人的血液再分别进行化验,这样,k,个人,解,:,由此可知,这时就能得到最好的分组方法,.,例如,则按第二种方法平均只需化验,这样平均来说,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型,r.v,X,的概率密度为,f,(,x,),若广义积分,绝对收敛,则称此积分的值为,r.vX,的,数学期望,记为,E,(,X,),即,E,(,X,)=,(2),1、定义2,2、重要分布的期望值:,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布,要求:,能熟练验证;,熟记结果.,P,89,例,2,有两个相互独立工作的电子装置,它们的寿命,X,k,(,k,=1,2),服从同一指数分布,其概率密度为,若将这两个电子装置串联联接成整机,求整机寿命,(,小时,),N,的数学期望,解,三、随机变量的函数的数学期望,离散型,r.v X,的分布律为：,P,X=x,k,=p,k,k=1,2,连续型,r.vX,的概率密度为,f(x),1、已知,一维,r,.,v,X,的分布,求其函数,Y=g(X),的期望:,(4),(3),说明,：,该公式的重要性在于:当我们求,E,g,(,X,),时,不必知道,g,(,X,),的分布，而只需知道,X,的分布就可以了.这给计算,r.v,函数的期望带来很大方便.,简单函数,可列表运算,例,4,：,某车间生产的圆盘直径在,(,a,b,),上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。,解,：,设,X,为某车间生产的圆盘直径，依题意，,XU（a，b）,X,的概率密度为,设圆盘面积为,Y，,则,上述基本公式，可推广到两个或两个以上,r.v,的情况。,说明：,（2）连续型,r.v,(,X,Y,),的概率密度为,f,(,x,y,),，,则有,(6),2、已知,二维,r.v（,X,Y,）,的分布，求,Z=g(X,Y),的数学期望,（1）离散型,r.v,（X，Y）,的分布律为：,(5),绝对收敛,P,94,例,9,解：,P,94,例,10,某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量,.,他们估计出售一件产品可获利,m,元，而积压一件产品导致元的损失,.,再者,他们预测销售量,Y,(,件,),服从指数分布,其概率密度为,问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少件产品,(,m,n,已知,),解,又,且可知这也是最大值,.,令,得,1.设,C,是常数，则,E(C)=C;,4.设,X、Y,独立,，则,E(XY)=E(X)E(Y);,2.若,C,是常数，则,E(,C,X)=,C,E(X);,3.,E(X+Y)=E(X)+E(Y);,（诸,X,i,独立时）,注意:由,E(XY)=E(X)E(Y),不一定能推出,X,Y,独立,推论：,E(E(X)=E(X),四、数学期望的性质,证：,（3）,E(X+Y)=E(X)+E(Y),特别地，,设二维,r.v(X,Y),概率密度函数为,f(x,y),例,5,把数字1,2,n,任意地排成一列，如果数字,k,恰好出现在,第,k,个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于,E(X,k,)=P(X,k,=1),解:,设巧合个数为,X,则,故,引入,五、数学期望性质的应用,解：,记,X,i,=“,在第,i,站客车的停车次数”，,则有,i,=1，210。,由期望的性质有,方法思想：,把复杂,r.vX,分解为数个简单随机变量,X,i,之和，再利用性质求期望.,i,=1,2,10.,20人都不在此站下,P,97,例1,2,：,客车载有20位乘客,开出后有10个车站可下车,每位旅客在各站下车是等可能的,且各乘客是否下车是相互独立的,.,若在一个站没人下车,则不停,记,X,为总停车次数,求,E,(X).,练习,：,已知随机变量,X,的概率密度为,求 的期望,解：,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，25分钟，和55分钟从底层起行。假设一游客在早8点的第,X,分钟到达底层候梯处，且,X,在0，60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望 （97考研题）,解：,因,X,在0，60上服从均匀分布,其概密为,设,Y,是游客等候电梯的时间，则,Y,是其到达时刻,X,的函数，有,随机变量的数学期望，反映了随机变量,取值的平均水平,，是随机变量的一个重要的数字特征.,对这六个基本公式要理解并会用。,小结：,另：,作业,P,111,2、6、7,、,9,（,1,）、,15,下次课，我们将学习随机变量另一个重要的数字特征：,方差,请预习,第二节,:,方差,
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