幂级数函数的幂级数展开法课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,第六章 无穷级数,6.3 幂级数,本节内容,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、,Taylor,级数及其应用,6.3 幂级数,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的,函数项级数,.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其,收敛域,;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数,称,收敛,发散,所有,为其,收,为其,发散点,发散点的全体称为其,发散域,.,6.3 幂级数,为级数的,和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前,n,项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是,x,的函数,称它,6.3 幂级数,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,6.3 幂级数,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为,幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的,系数,.,即是此种情形.,的情形,即,称,6.3 幂级数,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理 1,.,(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证:,设,收敛,则必有,于是存在,常数,M,0,使,6.3 幂级数,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的,x,原幂级数也,发散.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,6.3 幂级数,幂级数在(,+)收敛;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用,R,表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R,=0 时,幂级数仅在,x,=0 收敛;,R,=,时,幂级数在(,R,R,)收敛;,(,R,R,)加上收敛的端点称为,收敛域,.,R,称为,收敛半径,，,在,R,R,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(,R,R,)称为,收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,6.3 幂级数,定理2,.,若,的系数满足,证,:,1)若,0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1)当,0 时,2)当,0 时,3)当,时,即,时,则,6.3 幂级数,2)若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若,则对除,x,=0 以外的一切,x,原级发散,对任意,x,原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明,:,据此定理,因此级数的收敛半径,6.3 幂级数,对端点,x=,1,的收敛半径及收敛域.,解,:,对端点,x=,1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1,.,求幂级数,6.3 幂级数,例2,.,求下列幂级数的收敛域:,解,:,(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在,x=,0 处收敛.,规定:0!=1,6.3 幂级数,例3,.,的收敛半径.,解,:,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,6.3 幂级数,例4,.,的收敛域.,解:,令,级数变为,当,t,=2,时,级数为,此级数发散;,6.3 幂级数,当,t,=2,时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,6.3 幂级数,幂级数及其和函数的基本性质,定理3,.,设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有:,6.3 幂级数,定理4,若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.,6.3 幂级数,解,:,由例2可知级数的收敛半径,R,+.,例5,.,则,故有,故得,的和函数.,因此得,设,6.3 幂级数,例6,.,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为 1,x,1 时级数发,散,6.3 幂级数,例7,.,求级数,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,6.3 幂级数,因此由和函数的连续性得:,而,及,6.3 幂级数,三、泰勒(Taylor)级数及其应用,其中,(,在,x,与,x,0,之间),称为,拉格朗日余项,.,则在,若函数,的某邻域内具有,n,+1 阶导数,此式称为,f,(,x,)的,n,阶泰勒公式,该邻域内有:,6.3 幂级数,为,f,(,x,),的,泰勒级数,.,则称,当,x,0,=0,时,泰勒级数又称为,麦克劳林级数,.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为,f,(,x,)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,6.3 幂级数,定理5,.,各阶导数,则,f,(,x,)在该邻域内能展开成泰勒级数的,充要,条件,是,f,(,x,)的泰勒公式中的余项满足:,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某一邻域,内具有,定理6,.,若,f,(,x,)能展成,x,的幂级数,则这种展开式是,唯一,的,且与它的麦克劳林级数相同.,6.3 幂级数,函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在,x,=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步 判别在收敛区间(,R,R,)内,是否为0,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,的函数展开,6.3 幂级数,例8,.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解,:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,故得级数,6.3 幂级数,例9,.,将,展开成,x,的幂级数.,解,:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,6.3 幂级数,类似可推出:,6.3 幂级数,例10,.,将函数,展开成,x,的幂级数,其中,m,为任意常数.,解,:,易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数,m,6.3 幂级数,称为,二项展开式,.,说明：,(1),在,x,1,处的收敛性与,m,有关.,(2)当,m,为正整数时,级数为,x,的,m,次多项式,上式,就是代数学中的,二项式定理,.,6.3 幂级数,对应,的二项展开式分别为,6.3 幂级数,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例11.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,因为,把,x,换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,6.3 幂级数,例12,.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,从 0 到,x,积分,得,定义且连续,区间为,上式右端的幂级数在,x,1,收敛,所以展开式对,x,1,也是成立的,于是收敛,6.3 幂级数,例13,.,将,展成,解,:,的幂级数.,6.3 幂级数,例14,.,将,展成,x,1 的幂级数.,解,:,6.3 幂级数,内容小结,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,也可通过,换元,化为标准型再求.,6.3 幂级数,2.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,3.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,6.3 幂级数,当,m,=1,时,6.3 幂级数,思考与练习,1.,已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少?,答:,根据Abel 定理可知,级数在,收敛,时发散.,故收敛半径为,6.3 幂级数,2.函数,处“,有泰勒级数,”与“,能展成泰勒级,数,”有何不同?,提示:,后者必需证明,前者无此要求.,3.如何求,的幂级数?,提示:,6.3 幂级数,作业,P180:1(1)(2)(3),