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第,*,页,1.4,生活中的优化问题举例,自学导引,(,学生用书,P,27,),能利用导数解决生活中的优化问题,.,课前热身,(,学生用书,P,27,),1.,优化问题,生活中经常遇到求利润最大,用料最省,效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,.,2.,利用导数求优化问题的步骤,(1),分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式,y=,f(x,);,(2),求函数的导数,f(x,),解方程,f(x,)=0;,(3),比较函数在区间端点和使,f(x,)=0,的点的函数值的大小,.,最大,(,小,),者为最大,(,小,),值,.,典例剖析,(,学生用书,P,27,),题型一 几何中的最值问题,例,1:,横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比,并和高的平方成正比,要将直径为,d,的圆木锯成强度最大的横梁,问断面的高和宽应是多少,?,分析,:,首先将实际问题抽象为数学问题,找到强度与宽,高的数学关系,.,解析,:,如图,设断面的宽为,x,高为,y.,则当,xy,2,取极大值时,横梁的强度最大,.,又,y,2,=d,2,-x,2,.,f(x,)=xy,2,=x(d,2,-x,2,)(0 xd).,f(x,)=d,2,-3x,2,.,令,f(x,)=0,解得,变式训练,1:,某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地,.,如果铁丝网长,40 m,问靠墙的一面多长时,围成的场地面积最大,?,y=-x+20,令,y=0,得,x=20,当,0 x0,当,20 x40,时,y0.,x=20,时,y,最大,=2010=200.,答,:,靠墙的一面长,20 m,时,围成的场地面积最大,为,200 m,2,.,题型二 用料最省问题,例,2:,要设计一个容积为,V,的有盖圆柱形储油罐,已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半,;,而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半,问储油罐的半径,r,和高,h,之比为何值时造价最省,?,分析,:,把圆柱的高用底面半径,r,表示出来,然后把造价表示为,r,的函数,.,规律技巧,:,本题用半径,r,把高,h,表示出来,把实际问题转化为关于半径,r,的函数问题是关键,.,变式训练,2:,某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,才使得所用材料最省,?,答,:,当罐高与底的直径相等时,所用材料最省,.,题型三 成本最低利润最大问题,例,3:,甲,乙两地相距,400,千米,一汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过,100,千米,/,时,.,已知该汽车每小时的运输成本,t(,元,),关于速度,x(,千米,/,时,),的函数关系式是,(1),当汽车以,60,千米,/,时的速度匀速行驶时,全程运输成本为多少元,?,(2),为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶,?,并求出此时运输成本的最小值,.,分析,:,根据全程运输成本,=,每小时运输成本,运输总时间建立函数关系式,然后利用导数方法求最值,.,答,:,汽车以,60,千米,/,小时的速度匀速行驶时,全程运输成本为,1 500,元,.,答,:,当汽车以,80,千米,/,时的速度匀速行驶时,全程运输成本最小,最小值为 元,.,规律技巧,:,用导数求解实际问题中的最大,(,小,),值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么依实际意义,该极值点就是最值点,.,变式训练,3:,已知某工厂生产,x,件产品的成本为,c=2 500+200 x+,x,2,(,元,).,(1),要使平均成本最低,应生产多少件产品,?,(2),若产品以每件,500,元售出,要使利润最大,应生产多少件产品,?,答,:,生产,100,件产品时,平均成本最低为,250,元,.,(2),设总利润为,W,元,.,W=500 x-c=500 x-2 500-200 x-,x,2,=-,x,2,+300 x-2 500,W=-,x+300.,令,W=0,得,x=600.,当,0 x0,当,x600,时,W0),贷款的利率为,4.8%,假设银行吸收的存款能够全部贷出去,.,若存款利率为,x(x(0,0.048),则存款利率为多少时,银行可获得最大收益,(),A.0.012 B.0.024,C.0.032 D.0.036,答案,:B,解析,:,由题意知,存款量,g(x,)=,kx(k,0),银行应支付的利息,h(x,)=,xg(x,)=kx,2,x(0,0.048).,设银行可获得收益为,y,则,y=0.048kx-kx,2,.,于是,y=0.048k-2kx,令,y=0,得,x=0.024.,依题意知,y,在,x=0.024,处取得最大值,.,6.,四川地震灾区在党的领导下积极恢复生产,重建家园时,某工厂需要建一个面积为,512 m,2,矩形堆料场,.,一边可以利用原有的墙壁,其它三面需要砌新的墙壁,当砌墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为,_,.,32 m,16 m,能力提升,7.,某商场从生产厂家以每件,20,元购进一批商品,.,若该商品零售价定为,p,元,则销售量,Q(,单位,:,件,),与零售价,p(,单位,:,元,),有如下关系,:Q=8 300-170p-p,2,.,问该商品零售价定为多少时毛利润,L,最大,并求出最大毛利润,.(,毛利润,=,销售收入,-,进货支出,),解,:,设毛利润为,L(p,),由题意知,L(p,)=pQ-20Q=Q(p-20),=(8 300-170p-p,2,)(p-20),=-p,3,-150p,2,+11 700p-166 000,L(p,)=-3p,2,-300p+11700,令,L(p,)=0,解得,p=30,或,p=-130(,舍去,).,此时,L(30)=23 000.,因为在,p=30,附近的左侧,L(p,)0,右侧,L(p,)0,所以,L(30),是极大值,根据实际问题的意义知,L(30),是最大值,即零售价定为每件,30,元时,最大毛利润为,23 000,元,.,答,:,该商品零售价定为每件,30,元时,毛利润最大,最大毛利润为,23 000,元,.,8.,要做一个圆锥形漏斗,其母线长为,20 cm,要使体积最大,求圆锥的高,.,解,:,如图,.,设圆锥底面半径为,r,高为,h,于是,品味高考,9.(2008,广东,),某单位用,2160,万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少,10,层,每层,2000,平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为,x(x10),层,则每平方米的平均建筑费用为,560+48x(,单位,:,元,).,为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层,?(,注,:,平均综合费用,=,平均建筑费用,+,平均购地费用,答,:,为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为,15,层,.,10.(2009,湖南,),某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距,m,米,.,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,.,经测算,一个桥墩的工程费用为,256,万元,;,距离为,x,米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元,.,假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,.,记余下工程的费用为,y,万元,.,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式,;,(2),当,m=640,米时,需新建多少个桥墩才能使,y,最小,?,
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