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,*,第五章,平面向量与复数,向量的数量积,第,34,讲,1.,已知向量,a,=(2,，,t,),，,b,=(1,2),，当,t,=,t,1,时，,ab,；当,t,=,t,2,时，,ab,，则,t,1,=_,，,t,2,=_.,解析：,向量,a,=(2,，,t,),，,b,=(1,2),当,t,=,t,1,时，,ab,，所以,2,2-,t,1,=0,，则,t,1,=4,；,当,t,=,t,2,时，,ab,，所以,2,1+2,t,2,=0,，则,t,2,=-1.,4,-1,2.,若,|,a,|=|,b,|=1,，,ab,，且,2,a,+,3b,与,k,a,-,4b,也互相垂直，则,k,的值为,_,.,解析：,因为,2,a,+,3b,与,k,a,-,4b,垂直，,a,与,b,垂直，且,|,a,|=|,b,|=1,，,所以,(2,a,+,3b,),(,k,a,-,4b,)=2,k,a,2,-12,b,2,+(3,k,-8),a,b,=2,k,-12=0,，所以,k,=6.,6,3.,下列各结论中正确的有,_,.(,填正确的序号,),0,0,=0,；,0,a,=0,；,|,a,b,|,=,|,a|,|b,|,；,a,b,=0,a,=,0,或,b,=,0,；,ab,(,a,b,),c,=0.,解析：,错，实数与向量的乘积为向量；,错，,|,a,b,|,=,|,a|,|b|,cos,a,，,b,|=,|,a|,|b|,cos,a,，,b,|,；,错，,a,b,=0,a,=0,或,b,=,0,或,ab,.,4,.,a,、,b,为平面向量，已知,a,=(4,3),，,2,a,+,b,=(3,18),，则,a,、,b,夹角的余弦值等于,_,向量的数量积的概念,【,例,1】,设,a,、,b,、,c,是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题,(,a,b,),c,(,c,a,),b,0,；,|,a|,|b|a,b|,；,(,b,c,),a,(,c,a,),b,不与,c,垂直；,(,3a,2b,),(,3a,2b,),9|a|,2,4|b|,2,.,其中是真命题的有,_,【,解析,】,对于，,b,与,c,是不共线的两个非零向量，且,ab,与,ca,不能都为零，故错误,对于，由三角形的两边之差小于第三边知正确,对于，由向量的数量积的运算法则，得,(,bc,),a,(,ca,),b,c,(,bc,)(,ac,),(,ca,)(,bc,),0,，,所以,(,bc,),a,(,ca,),b,c,，故错误,对于,，由于,(,3a,2b,),(,3a,2b,),9a,2,4b,2,9|a|,2,4|b|,2,，故,正确,答案：,点评,判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律例如，由,ab,0,并不能得出,a,0,或,b,0,.,特别是向量的数量积不满足结合律，即,(,ab,),ca,(,bc,),【,变式练习,1】,下列命题中正确的个数是,_.,若,a,b,0,，则,a,0,或,b,0,；,(,a,b,),c,a,(,b,c,),；,若,ab,bc,(,b0,),，则,a,c,；,ab,ba,；,若,a,与,b,不共线，则,a,与,b,的夹角为锐角,1,【,解析,】,当,a,0,时，由,ab,0/ b,0,，且对任意与,a,垂直的非零向量,b,，都有,ab,0,，故错,(,ab,),c,表示一个与,c,共线的向量，而,a,(,bc,),表示一个与,a,共线的向量，而,c,与,a,通常并不是共线的，故错设,a,与,b,的夹角为,，,b,与,c,的夹角为,，则由,ab,bc,，得,|,a|,cos,|,c,|cos,/,a,c,，故错由于向量数量积满足交换律，故正确向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为,0,，,180,范围内的角，故错,答案：,1,向量的夹角,点评,数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法,(1),题中通过垂直的充要条件，得到,|,a|,|b|,，这是本题的突破口在等式,2,ab,b,2,中，不能,“,约去,b”,，得出,“,2,a,b”,，注意这一点与实数乘法不同,(2),题中，向量的夹角范围是,0,，,，并且注意,a,2,|a|,2,及夹角公式的应用同时，,a,与,b,的夹角是钝角，可以得到,ab,0,，但这并不是,a,与,b,的夹角为钝角的充要条件因为,a,与,b,的夹角是,180,时也有,ab,0.,因此第二问要排除掉,a,与,b,反向的情形想一想：若,a,与,b,的夹角是锐角时又要注意什么呢？,【,变式练习,2】,已知,a,和,b,的夹角为,60,，,|a|,10,，,|b|,8,，求：,(,1,),|a,b|,；,(,2,),a,b,与,a,的夹角,的余弦值,向量的平行与垂直,【,例,3】,设向量,a,(4cos,，,sin,),，,b,(,sin,，,4cos,),，,c,(,cos,，,4sin,),(1),若,a,(,b,2c,),，求,tan(,),的值；,(2),求,|b,c|,的取值范围；,(3),若,tan,tan,16,，求证,ab,.,【,解析,】,(1),b,2c,(,sin,2cos,，,4cos,8sin,),，,a,(,b,2c,),4cos,(sin,2cos,),sin,(4cos,8sin,),4sin(,),8cos(,),0.,所以,tan(,),2.,点评,向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用,综合应用,点评,本例是向量、函数、导数应用的典型例子第,(2),问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法,1,是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法,2,是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的,(,但运算过程大大简化，值得注意,),第,(2),问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用,5,4.,已知,|,a,|=2,，,|,b,|=,，,a,与,b,的夹角为,45,，要使,l,b,-,a,与,a,垂直，则,l,=_.,.,解析：,由,l,b,-,a,与,a,垂直，,(,l,b,-,a,),a,=,l,a,b,-,a,2,=0,，所以,l,=2,2,1,两向量的夹角：如图，,AOB,(0,180),叫做向量,a,与,b,的夹角,当,0,时，,a,与,b,同向；,当,180,时，,a,与,b,反向；,当,90,时，,a,与,b,垂直，,记作,ab,.,2,向量的数量积的几何意义：对于,ab,|,a|b,|cos,，其中,|,b,|cos,叫向量,b,在,a,方向上的射影,(,为,a,、,b,的夹角,),，向量的数量积,ab,等于,a,的长度,|a|,与,b,在,a,方向上的射影,|,b|,cos,的乘积当,为锐角时，值为正；当,为钝角时，值为负；当,为直角时，值为零；当,为零时，值为,|,a|b,|,；当,为,180,时，值为,|,a|b,|,.,4,运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面：,(1),两个向量的夹角的取值范围为,0,，,180,；,(2),两向量的数量积是一个数，而不是一个向量，并且数量积是向量间的一种乘法，与以前所学的乘法是有区别的，书写时要区分开；,(3),当,a0,时，,ab,0,不能推出,b,一定是零向量，因为当,ab,(,a,0,),时，,ab,0,； ；,(4),用向量的数量积可解决有关长度、角度和垂直的问题；,(5),对于实数,ab,bc,(,b,0),a,c,；但对于向量，由,ab,bc,不能得到,a,c,；,(6),向量的数量积只适合交换律、加法分配律、数乘向量结合律，不适合乘法结合律，即,(,ab,),c,不一定等于,a,(,bc,),，因,(,ab,),c,表示与,c,共线的向量，而,a,(,bc,),表示与,a,共线的向量,
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