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栏目导引,知识体,素构建,专题归,纳整合,第二章数列,知识体系构建,专题归纳整合,专题 一,数列通项公式的求法,数列的通项公式是表示数列的主要方式，其本质就是函数的解析式围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前,n,项和求数列的通项公式是数列的核心问题之一下面介绍几种常用的求法,1,观察归纳法,观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数,n,的内在联系，从而归纳出数列的通项公式,例,1,2,公式法,等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式来表示,已知数列,a,n,为无穷数列，若,a,n,1,a,n,1,2,a,n,(,n,2,且,n,N,*,),，且,a,2,4,，,a,6,8,，求通项,a,n,.,【解】,a,n,1,a,n,1,2,a,n,，,a,n,1,，,a,n,，,a,n,1,成等差数列,又,n,2,且,n,N,*,，,数列,a,n,为等差数列，,设首项为,a,1,，公差为,d,，,例,2,(1),数列,a,n,的前,n,项和,S,n,(,1),n,1,n,求,a,n,；,(2),数列,a,n,的前,n,项和,S,n,3,2,n,，求,a,n,.,【解】,(1),当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,(,1),n,1,n,(,1),n,(,n,1),(,1),n,(1,2,n,),，,当,n,1,时，,a,1,S,1,(,1),2,1,1,，上式中,a,1,(,1),1,(1,2),1.,例,3,4,叠加法、叠乘法,有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性这时，可考虑利用叠加或叠乘法，结合等差、等比数列的知识解决,例,4,已知数列,a,n,满足,a,n,1,a,n,3,n,2,且,a,1,2,，求,a,n,.,【解】,a,2,a,1,3,1,2,，,a,3,a,2,3,2,2,，,a,4,a,3,3,3,2,，,a,n,a,n,1,3,(,n,1),2,，,以上各式相加，得,例,5,5,构造法,形如：已知,a,1,，,a,n,1,pa,n,q,(,p,、,q,为常数,),形,式均可用构造等比数列法，即,a,n,1,x,p,(,a,n,x,),，,a,n,x,为等比数列，或,a,n,2,a,n,1,p,(,a,n,1,a,n,),，,a,n,1,a,n,为等比数列,已知数列,a,n,满足,a,n,1,3,a,n,2,(,n,N,*,),，,a,1,1.,求通项公式,例,6,【解】,a,n,1,3,a,n,2,可变为,a,n,1,1,3(,a,n,1),令,b,n,a,n,1,，,则,b,n,1,3,b,n,且,b,1,a,1,1,2,，,b,n,是以,2,为首项，以,3,为公比的等比数列,.,b,n,23,n,1,，,a,n,b,n,1,23,n,1,1.,专题 二,数列求和,求数列的前,n,项和,S,n,通常要掌握以下方法：,1,公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列,q,1,的讨论,2,错位相减法,:,主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广,3,分组转化法：把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列再求解,4,裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项,5,倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加,(,即等差数列求和公式的推导过程的推,广,),例,7,专题 三,等差、等比数列性质的运用,1,a,n,为等差数列，则有,a,n,a,1,(,n,1),d,a,m,(,n,m,),d,.,若,m,n,p,q,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,.,2,a,n,为等比数列，则有,a,n,a,1,q,n,1,a,m,q,n,m,，若,m,n,p,q,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,.,例,8,【答案】,A,设,a,n,是任意等比数列，它的前,n,项和，前,2,n,项和与前,3,n,项和分别为,X,，,Y,，,Z,，则下列等式中恒成立的是,(,),A,X,Z,2,Y,B,Y,(,Y,X,),Z,(,Z,X,),C,Y,2,XZ,D,Y,(,Y,X,),X,(,Z,X,),例,9,【解析】等比数列中有,S,n,，,S,2,n,S,n,，,S,3,n,S,2,n,成等比数列，故有,X,(,Z,Y,),(,Y,X,),2,，,两边展开有,XZ,XY,Y,2,2,XY,X,2,，,即,XZ,Y,2,XY,X,2,，移项有：,Y,2,XY,X,2,XZ,，提取公因式，,得,Y,(,Y,X,),X,(,Z,X,),，故选,D.,【答案】,D,解决此类问题一般都不能直接套用公式，需对题目中的已知条件进行变形，使之符合等差或等比数列的形式，才可以使用等差或等比数列的公式和性质,专题 四,数列知识的综合问题,例,10,专题集训,2,若,a,n,是公差为,1,的等差数列，则,a,2,n,1,2,a,2,n,是,(,),A,公差为,3,的等差数列,B,公差为,4,的等差数列,C,公差为,6,的等差数列,D,公差为,9,的等差数列,解析：选,C.,设数列,a,n,的公差为,d,，则由题意知，,d,1,，设,c,n,a,2,n,1,2,a,2,n,，则,c,n,1,a,2,n,1,2,a,2,n,2,，,c,n,1,c,n,a,2,n,1,2,a,2,n,2,a,2,n,1,2,a,2,n,6,d,6.,答案：,31,4,若,S,n,是公差不为,0,的等差数列,a,n,的前,n,项和，且,S,1,，,S,2,，,S,4,成等比数列,(1),求数列,S,1,，,S,2,，,S,4,的公比；,(2),若,S,2,4,，求,a,n,的通项公式,
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