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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 不定积分的概念,及其线性法则,第三章 一元函数积分学,本节要点,本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到不定,积分的简单性质,.,一、原函数与不定积分,二、不定积分的计算,一、,原函数与不定积分,1.,原函数,在第二章关于求导的问题中提出，已知 ，求,的导数 。,而现在的问题是 已知,求满足 的,这类问题就是求原函数问题,.,定义,1,如果在区间,上的可导函数 的导函数为,或,则称函数 为 在区间 上的一个,原函数,.,，即对任一 ，都有,例,1,所以 是 的一个原函数；,所以 为 的一个原函数；,因为,因为,由于,所以 是 在 的一个原函数；,我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函,数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，,先引入,:,原函数存在定理,如果函数 在区间 上连续,则在区,间 上存在可导函数 ，使得对任一,都有,即,连续函数一定有原函数存在,.,此定理将在定积分内容中讨论。,所以如果 是 的原函数,则 也是 的原函数,.,由于 其中 为任意常数，,如果 也是 的原函数,即 ，则,为任意常数，所以，任意两个原函数之间只差,一个常数。而且 任意一个原函数可以表示为,2.,不定积分,由上面的讨论，可得到如下定义：,定义,2,在区间 上，函数 的带有任意常数的原函数,称为 在区间 上的,不定积分,，记作,其中 称为,积分号,，,称为,被积函数,，,称为,被积表达式,称为,积分变量,。,如果 是 的一个原函数，则 的不定积分,可表示为,由于 表示 的任意一个原函数，所以,又由于 是 的一个原函数，所以,例,2,由定义，不难得到下面的：,由于,为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示,;,注,2,定义在区间 上的连续函数一定存在原函数，但,其原函数不一定能用初等函数来表示；例如函数,注,1,在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉，,加上任意常数 表示不定积分，不加任意常数,表示某一个原函数。,注,3,在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数，,例如函数,:,存在间断点 ，但 在 存在原函数,例,3,设曲线通过点,(1,2),且其上任一点处的切线斜率,等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程,.,解 设此曲线的方程为 由题设得关系,即，是 的一个原函数，因 即,且曲线过,(1,2),即 代入曲线方程得 故所求曲线的方程为,函数 的原函数的图形称为 的积分曲线。,上例中 的原函数为 在常数 取不,同值时，可得不同的积分曲线。,3.,基本积分公式,是常数；特别,二、不定积分的计算,由原函数与不定积分的定义可得到如下不定积分的性质,:,性质 设函数 及 的原函数存在，则,其中 为任意常数,.,这就是不定积分的线性运算性质。,用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定积分。,例,4,求积分,解 先将 展开，然后再利用积分公式及运算法,则,:,例,5,求积分,解 先将 展开，然后再利用积分公式及运算法,求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。,例,6,求积分,解,例,7,求积分,解,例,8,求积分,解 将积分拆成两项的和，可得,例,9,求积分,解,分子部分减,1,加,1,项后,分解被积表达式，得,例,10,求积分,解,分子部分减,1,加,1,项后,分解被积表达式，得,例,11,求积分,解 利用三角公式,例,12,求积分,解 利用半角公式,例,13,求积分,解 由倍角公式 则,例,14,求积分,解 由倍角公式 则,学习动物精神,11,、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味,地接受工作的交付，,只能学到工作方法,的皮毛，能思考应,变的人，才会学到,方法的精髓。,学习动物精神,12,、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，,会减轻主管、共,事者的负担，也,让你更具人缘。,谢谢大家！,学习动物精神,11,、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味,地接受工作的交付，,只能学到工作方法,的皮毛，能思考应,变的人，才会学到,方法的精髓。,学习动物精神,12,、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，,会减轻主管、共,事者的负担，也,让你更具人缘。,谢谢大家！,学习动物精神,11,、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味,地接受工作的交付，,只能学到工作方法,的皮毛，能思考应,变的人，才会学到,方法的精髓。,学习动物精神,12,、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，,会减轻主管、共,事者的负担，也,让你更具人缘。,谢谢大家！,
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