07_高阶偏导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,大 学 数 学,（三）,多元微积分学,第一章,多元函数微分学,第一章 多元函数微分学,本章学习要求：,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。,会求隐函数,(,包括由方程组确定的隐函数,),的一阶、二阶偏数。,知道二元函数的泰勒公式形式。,知道,n,元函数的偏导数概念及其求法。,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。,了解空间,(,平面,),曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。,11.,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟,练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。,12.,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约,束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉,格朗日乘数法求条件极值。,13.,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些,较简单的最大值和最小值的应用问题。,第七节 高阶偏导数,多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似,.,一般说来,在区域,内,函数,z,=,f,(,x,y,),的偏导数,仍是变量,x,y,的多元函数,如果偏导数,的二阶偏导数,.,依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数,.,仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数,一般地,若函数,f,(,X,),的,m,1,阶偏导数仍可偏 导,则称其偏导数为原来函数的,m,阶偏导数,.,二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其,中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数,.,例,高阶偏导数还可使用下列记号,二元函数的二阶偏导数共,2,2,=4,项,例,例,例,例,共,2,3,=8,项,.,发现求高阶导数与求导顺序有关,.,求,的二阶偏导数,.,先求一阶偏导数：,再求二阶偏导数：,例,解,求,的二阶偏导数,.,例,解,二阶混合偏导数：,观察,发现两个混合偏导数相等,一般性？,这里的两个混合偏导数均连续,设,求,需按定义求函数在点,(0,0),处的偏导数,:,0,0,不相等,例,解,这说明只有在一定的条件下求函数,的高阶偏导数才与求导顺序无关,.,想想应是什么条件？,定理,若,的二阶混合偏导数在,内存在且在点,处连续,则必有,废话,!,求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么,.,有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续,.,懂吗！,令,则,连续、可导,由拉格朗日中值定理得,证,即,关于变量,y,再运用拉格朗日中值定理,得,同理,令,则,先关于变量,y,再关于变量,x,运用拉格朗日中值定理,得,故,由二阶混合偏导数连续性,取极限后,即得定理的结论,.,该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形,.,现在问你,证明定理时为什么会想到用,？,看 图,课后再想,是依次将一个变量看成常数求导,.,引入,记号：,在,内有直到,k,阶的连续偏导数,记为,时,则在求,n,阶及,n,阶以下的偏导数时,可大大减少运算,次数,.,自变量的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越,二元函数的,n,阶偏导数就有,2,n,项,当,明显,.,例,解,例,解,例,解,这是求隐函数的高阶偏导数,.,请自己计算,例,解,利用变量代换,将,方程,化为关于变量,的方程,.,令,例,解,即,同理可得,将上述偏导数带入原方程,得到,利用算子可以方便地表示,高阶微分,泰勒公式,高 阶 微 分,若,则它的全微分,存在,且,若,则,1,1,1 2 1,1 3 3 1,系数：,例,解,称为二阶,Hessian,矩阵,二阶微分的矩阵表示：,又,故,例,解,泰勒公式,与求多元函数的偏导数的方法类似,我们想借助一元函数的泰勒公式来建立,多元函数的泰勒公式,.,首先,将一元函数的泰勒公式写成微分形式：,x,为自变量时,运用点函数进行推广,定理,(,多元函数的泰勒公式,),拉格朗日余项,.,该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式,由多元函数高阶微分式：,多元函数的泰勒公式可写成一般形式：,证明多元函数泰勒公式的思想方法是,引入参变量，将多元函数的问题转化为相应的一元函数问题，选择参变量的特殊值，写出一元函数的泰勒公式，并按多元函数的求导法则求所需的各阶偏导数，即可完成多元函数的泰勒公式的证明,.,于是由一元函数的泰勒公式,再按多元函数的求导法则求出各阶导数值,即可得到,多元函数的泰勒公式,.,取,X,0,=0,泰勒公式即为马克劳林公式,.,即取,m=,0,由已知条件及,X,0,的任意性,立即可得,例,证,