重积分的计算及应用习题

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,习题课,一、 重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,重积分的 计算 及应用,一、重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外:,面、线、点,),3. 掌握确定积分限的方法,累次积分法,1.,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域.,提示:,利用极坐标,原式,2.把积分,化为三次积分,其中,由曲面,提示:,积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,3 .,计算积分,其中,是,两个球,(,R, 0 )的公共部分.,提示:,由于被积函数缺,x,y,原式 =,利用“,先二后一,” 计算方便,.,4.,计算三重积分,其中,是由,xoy,平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示:,利用柱坐标,原式,绕,x,轴旋转而成的曲面与平面,补充题.,计算积分,其中,D,由,所围成,.,提示:,如图所示,连续,所以,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或重心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,4.,利用重积分换元公式,证明:,提示:,左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,1.,2.,其中,是,所围成的闭区域 .,提示:,被积函数在对称域,上关于,z,为奇函数 ,利用,对称性可知原式为 0.,由球面,3.,在均匀的半径为,R,的圆形薄片的直径上 , 要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示:,建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上 ,例4.,计算二重积分,其中:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解:,(1),利用对称性.,围成 .,(2),积分域如图:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例2.,计算二重积分,其中,D,是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,例5.,计算二重积分,在第一象限部分.,解:,(1),两部分, 则,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,(2),提示:,两部分,说明:,若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将,D,分成,例6.,如图所示,交换下列二次积分的顺序,:,解:,例7.,解:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,例1,.,证明,证:,左端,= 右端,例2.,设函数,f,(,x,) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论,F,(,t,) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明,t, 0 时,(03考研),解:,(1),因为,两边对,t,求导, 得,(2),问题转化为证,即证,故有,因此,t, 0 时,因,利用“先二后一”计算.,例3.,试计算椭球体,的体积,V,.,解法1,*解法2,利用三重积分换元法. 令,则,