概率论与数理统计(3334)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,条件分布律,条件分布函数,条件概率密度,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,一 、,离散型随机变量的条件分布律,设,(,X,Y,),是二维离散型随机变量，其分布律为,(,X,Y,),关于,X,和关于,Y,的边缘分布律分别为：,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,P,X,=,x,i,Y,=,y,j,=,p,i j,i,j=,1,2,.,由条件概率公式,定义：,设,(,X,Y,),是二维离散型随机变量，对于固定,的,j,为在,Y,=,y,j,条件下随机变量,X,的条件分布律,。,第三章,随机变量及其分布,若,P,Y,=,y,j,0,则称,自然地引出如下定义：,3,条件分布,第三章,随机变量及其分布,条件分布律,具有分布律的以下,特性,：,1,0,P,X,=,x,i,|,Y,=,y,j,0,；,同样对于固定的,i,若,P,X,=,x,i,0,则称,为在,X,=,x,i,条件下随机变量,Y,的条件分布律,。,3,条件分布,即条件分布率是分布率。,第三章,随机变量及其分布,例,1,一射手进行射击，击中目标的概率为,p,，,射击,到击中目标两次为止。设以,X,表示首次击 中目标,所进行的射击次数，以,Y,表示总共进行 的射击次,数，试求,X,和,Y,的联合分布律以及条件分布律。,解：,3,条件分布,；,，,，,，,的取值是,L,4,3,2,Y,，,，,，,的取值是,L,2,1,X,并且,Y,X,的联合分布律为,Y,X,n,Y,m,X,P,=,=,，,p,q,p,q,m,n,m,=,-,-,-,1,1,2,2,p,q,n,=,-,(,),p,q,-,=,1,其中,.,1,2,1,-,=,n,m,L,;,3,2,L,=,n,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,例,1,（续）,的边缘分布律为,X,=,=,m,X,P,=,=,n,n,Y,m,X,P,，,-,=,2,2,n,q,p,的边缘分布律为,Y,1,2,1,;,3,2,2,2,-,=,=,=,=,=,-,n,m,n,p,q,n,Y,m,X,P,n,L,L,，,在,Y,=,n,条件下随机变量,X,的条件分布律为,当,n,=2,3,时，,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,1,2,1,;,3,2,2,2,-,=,=,=,=,=,-,n,m,n,p,q,n,Y,m,X,P,n,L,L,，,在,X,=,m,条件下随机变量,Y,的条件分布律,为,当,m,=1,2,3,时，,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,L,2,1,1,=,=,=,-,m,pq,m,X,P,m,1,2,1,;,3,2,2,2,-,=,=,=,=,=,-,n,m,n,p,q,n,Y,m,X,P,n,L,L,，,第三章,随机变量及其分布,例2,（,1,）在发车时有,n,个乘客的条件下，中途有,m,个人下,车的概率；,（,2,）二维随机变量（,X,Y,),的概率分布。,解：,且中途下车与否相互独立。以,Y,表示在中途下车的人,数，求：,设某班车起点站上车人数,X,服从参数为,的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为,3,条件分布,第三章,随机变量及其分布,二、,条件分布函数,设,(,X,Y,),是二维连续型随机变量，由于,因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。,3,条件分布,定义：,给定,y,，,设对于任意固定的正数, ，,存在，,第三章,随机变量及其分布,P,y-, 0,若对于任意实数,x,，,极限,则称为在条件,Y,=,y,下,X,的,条件分布函数,，,写成,P,X,x,|,Y,=,y,，,或记为,F,X,|,Y,(,x,|,y,).,3,条件分布,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,称为在条件,Y,=,y,下,X,的条件分布函数,.,条件密度函数,.,的条件下的,在,称为随机变量,x,X,Y,=,的条件下的,在,称为随机变量,y,Y,X,=,条件密度函数,.,条件密度函数的性质,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,性质,1,对任意的,x,有,性质,2,是密度函数,简言之，,也有类似的性质,对于条件密度函数,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,例,3,解：,第三章,随机变量及其分布,例,3,（续）,3,条件分布,第三章,随机变量及其分布,例,3,（续）,例,4,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,(,),服从二元正态分布：,，,设二维随机变量,Y,X,(,),的联合密度函数为,，,则,Y,X,(,),(,),r,N,Y,X,，,，,，,，,，,2,2,2,1,2,1,s,s,m,m,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,又随机变量,Y,的边缘密度函数为,例,5,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,(,x,1),上的均匀分布试求随,机变量,Y,的密度函数,当,0 ,x, 1,时,随机变量,Y,在,X = x,的条件下服从区间,设随机变量,X,服从区间,(0,1),上的均匀分布,的密度函数为,随机变量,X,解：,(,),=,.,0,1,0,1,其它,x,x,f,X,下的条件密度函数为,在条件,时，随机变量,又由题设知，当,x,X,Y,x,=,1,0,(,),-,=,.,0,1,1,1,其它,y,x,x,x,y,f,X,Y,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,例,5,（续）,得,所以，由公式,-,=,.,0,1,0,1,1,其它,y,x,x,时，,当,1,0,y,所以，,(,),(,),+,-,=,dx,y,x,f,y,f,Y,，,-,=,y,dx,x,0,1,1,(,),.,1,ln,y,-,-,=,的密度函数为,所以，随机变量,Y,(,),(,),-,-,=,.,0,1,0,1,ln,其它,y,y,y,f,Y,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,1,条件分布律；,2,条件分布函数；,3,条件概率密度。,小结：,难点：,求条件分布时如何确定条件分布率和条,件密度不为零的范围。,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,随机变量的独立性,离散型随机变量的独立性,连续型随机变量的独立性,正态随机变量的独立性,一、随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,说 明,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,结论：,在独立的条件下有,例,1,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,(,),的联合分布函数为,，,设二维随机变量,Y,X,(,),+,-,+,-,y,x,，,是否相互独立？,与,试判断,Y,X,解：,的边缘分布函数为,X,(,),+,+,=,10,arctan,2,5,arctan,2,1,2,y,x,y,x,F,p,p,p,，,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,(,),x,F,X,(,),=,，,x,F,(,),(,),+,-,，,x,的边缘分布函数为,Y,(,),(,),y,F,y,F,Y,，,=,+,+,=,+,10,arctan,2,5,arctan,2,1,lim,2,y,x,y,p,p,p,+,=,5,arctan,2,1,x,p,p,+,+,=,+,10,arctan,2,5,arctan,2,1,lim,2,y,x,x,p,p,p,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,+,=,10,arctan,2,1,y,p,p,(,),(,),+,-,，,y,，有,，,所以，对于任意的实数,y,x,(,),y,x,F,，,是相互独立的随机变量,与,所以,Y,X,+,+,=,10,arctan,2,5,arctan,2,1,2,y,x,p,p,p,+,+,=,10,arctan,2,1,5,arctan,2,1,y,x,p,p,p,p,二、离散型随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,例,2,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,例,3,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,三、连续型随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,说 明,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,例,4,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,例,5,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,例,6,（,Buffon,投针问题）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,L,M,X,M,a,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,x,D,A,0,说 明,:,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,说 明（续）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,说 明（续）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,例,7,（正态随机变量的独立性）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,(,),(,),r,N,Y,X,，,，,，,，,，,设二维随机变量,2,2,2,1,2,1,s,s,m,m,(,),的联合密度函数为,，,则,Y,X,的边缘密度函数为,又随机变量,X,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,的边缘密度函数为,随机变量,Y,(,),的联合密度函数为,，,时，,所以，当,Y,X,r,0,=,，有,，,实数,相互独立，则对任意的,与,反之，如果随机变量,y,x,Y,X,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,特别地，我们有,由此得，,0,=,r,(,),.,0,),(,2,2,2,1,2,1,=,r,Y,X,r,N,Y,X,相互独立的充分,必要条,件为,:,与,，,，,，,，,对于,结论：,s,s,m,m,四、,n,维,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,注意,：,若,X ,Y,独立，,f,(,x,) ,g,(,y,),是连续函数，则,f,(,X,) ,g,(,Y,),也独立。,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,小结：,1,二维随机变量,独立,的充分必要,条件,：,联合分布等于边缘分布的乘积,。,2,(,),.,0,),(,2,2,2,1,2,1,=,r,Y,X,r,N,Y,X,：,件为,相互独立的充分必要条,与,，,，,，,，,对于,s,s,m,m,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,思考题,：,1,）填空。已知,X, Y,独立，联合分布率与边缘分布率如下,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,2,）已知,X,Y,的分布率如下,求：（,1,）,X,Y,的联合分布率；（,2,）,X,与,Y,是否独立。,第三章,随机变量及其分布,3),