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,*,第六章,不等式,二元一次不等式（组）,与简单的线性规划问题,第,40,讲,求目标函数的最值,(,截距,),点评,把线性目标函数转化为一簇平行线，是图解法的核心本题求目标函数,z,2,x,y,的最大值、最小值，其实是求直线,y,2,x,z,在,y,轴上的截距的最小值和最大值，但,x,、,y,是受条件约束的我们想知道的是过哪些点可以达到目的？因此，下列步骤是必需的：先画出二元一次不等式组表示的平面区域,(,即可行域,),，求直线的交点,A,、,B,、,C,的坐标,(,当然，如果图画得准确，,B,点坐标可以不求,),，再作直线,l,：,2,x,y,0,，发现将直线上下平移到过可行域的顶点时，取得最值，所以，将点的坐标代入就可以了,求目标函数的最值,(,距离、斜率,),点评,在线性规划中，形如,z,(,x,a,),2,(,y,a,),2,型的,(,或可以化为此类型的,),目标函数都可以转化为求可行域内的点,(,x,，,y,),与点,(,a,，,b,),的距离的平方,(,特别提醒：是“距离的平方”，而非“距离”,),的最值问题，通过点与点的距离或点到直线的距离公式求解而形如 型的则转化为可行域内的点,(,x,，,y,),与点,(,a,，,b,),连线的斜率来求,【,解析,】,作出可行域如右图中的阴影部分,ABC,，图中各点的坐标分别为,A,(4,0),，,B,(3,4),，,C,(0,3),，,D,(,1,1),由图可知,x,2,y,2,的最小值是原点到直线,AC,：,3,x,4,y,12,0,的距离的平方，最大值是线段,OB,的长度的平方；,利用线性规划解决实际问题,【,例,3】,某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为,3,千元、,2,千元甲、乙产品需要在,A,、,B,两种设备上加工，在每台设备,A,、,B,上加工一件甲产品所需工时分别为,1,小时、,2,小时，加工一件乙产品所需工时分别为,2,小时、,1,小时，,A,、,B,两种设备每月有效使用时数分别为,400,和,500,，如何安排生产可使收入最大？,点评,本题是利用线性规划的基础知识和图解法解决生活中的实际问题首先要弄清题意，找出变量的约束条件，列出目标函数，然后由约束条件画出可行域，最后在一组平行线中，找出在可行域内过,A,点的直线，把点代入可得到最大值,(,即收入最大,),【,变式练习,3】,两种大小不同的钢板可按下表截成,A,、,B,、,C,三种规格成品,.,某建筑工地需,A,、,B,、,C,三种规格的成品分别为,15,、,18,、,27,块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最少？,钢板规格,A,规格,B,规格,C,规格,第一种钢板,2,1,1,第二种钢板,1,2,3,通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与原点距离最近的是,B,(3,9),和,C,(4,8),，它们都是最优解，所以，要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少，有下面两种方法：,截第一种钢板,3,张，第二种钢板,9,张，,截第一种钢板,4,张，第二种钢板,8,张，两种方法都最少要截两种钢板共,12,张,1.,表示图中阴影部分的二元一次不等式组为,_,5.,制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，还要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，据预测，甲、乙两个项目可能的最大赢利率分别是,100%,和,50%,，可能的最大亏损率分别为,30%,和,10%.,投资人计划投资金额不超过,10,万元，要求确保可能的资金亏损不超过,1.8,万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？,本节内容考查数形结合的数学思想，主要以三种方式进行：,一是直接给出线性约束条件和线性目标函数，求区域的面积和线性目标函数在区域内的最值；,二是要求按给出的二元一次不等式组和画出的几个图象，判断哪一个是正确的，或要求按给出图象写出所表示的二元一次不等式组；,三是利用线性规划知识解决实际问题,1,二元一次不等式,(,组,),表示的区域的判定方法,(1),函数,y,kx,b,表示的直线将平面分成上下两部分，则,不等式,表示区域,y,kx,b,表示直线,y,kx,b,上方的半平面,(,不包括边界,),y,kx,b,表示直线,y,kx,b,上方的半平面,(,包括边界,),y,kx,b,表示直线,y,kx,b,下方的半平面,(,包括边界,),(2),方程,x,a,表示的直线将平面分成左右两部分，则,不等式,表示区域,x,a,表示直线,x,a,右边的半平面,(,包括边界,),x,a,表示直线,x,a,左边的半平面,(,不包括边界,),x,0,表示,y,轴右边的半平面,(,包括边界,),x,0,B,0,表示直线上方的半平面区域,(,不包括边界,),表示直线下方的半平面区域,(,不包括边界,),Ax,By,C,0,表示直线下方的半平面区域,(,包括边界,),表示直线上方的半平面区域,(,包括边界,),2,解线性规划应用问题的一般步骤：,(1),设变量，分析题意，写出约束条件和目标函数；,(2),作出相应的图象，找出可行域,(,注意边界,),，求出交点坐标；,(3),作出直线,l,0,：,ax,by,0,；,(4),找出最优解，确定直线,l,0,的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；,(5),求出目标函数的最大值、最小值,3,运用线性规划解题时需注意的几点：,(1),正确画出可行域，交点一定要求准；,(2),明确目标函数的几何意义，即要明白做什么事；,(3),一般情况下，最优解在可行域的顶点,(,有些实际问题可能在附近的整点,),或边界取得，要注意边界的虚实,
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