资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 向量组及其线性组合,主要内容：,一、,n,维向量的定义,二、向量组的定义,三、向量组的线性组合,四、向量组等价,五、向量组的相关定理,1 向量组及其线性组合,定义,:,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数称为,第,i,个分量,.,定义,:,分量全为实数的向量称为,实向量,分量全为复数的向量称为,复向量,.,1 向量组及其线性组合,例,n,维向量,例,三维实向量,例,三维复向量,1 向量组及其线性组合,定义,:,给定向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,对于任何一组实数,k,1,k,2,k,m,表达式,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,称为向量组的一个,线性组合,k,1,k,2,k,m,称为这个线性组合的,系数,.,例,1 向量组及其线性组合,定义,:,给定向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,和向量,b,如果存在一组数,1,2,m,使,b=,1,a,1,+,2,a,2,+,+,m,a,m,则向量,b,是,向量组,A,的线性组合,这时称,向量,b,能由,向量组,A,线性表示,.,注意:,向量,b,能由,向量组,A,线性表示,也就是方程组,b=x,1,a,1,+,x,2,a,2,+,+,x,m,a,m,有解.,1 向量组及其线性组合,向量,b,能由,向量组,A,线性表示.,方程组 有解.,例,1 向量组及其线性组合,定理,向量,b,能由,向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,线性表示的,充分必要条件,是,矩阵,A,=(,a,1,a,2,a,m,),的秩等于,矩阵,B,=(,a,1,a,2,a,m,b,),的秩.,1 向量组及其线性组合,例,1 向量组及其线性组合,定义,:,设有两个向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,及,B,:,b,1,b,2,b,m,若,B,组中的每个向量都能由向量组,A,线性表示,则称,向量组,B,能由向量组,A,线性表示,.,定义,:,若向量组,A,与向量组,B,能相互线性表示,则称这,两个向量组等价,.,1 向量组及其线性组合,例,设有两个向量组,A,:及,B,:,则称,向量组,B,能由向量组,A,线性表示,.,1 向量组及其线性组合,例,设有两个向量组,A,:及,B,:,则称,向量组,A,与向量组,B,等价,.,1 向量组及其线性组合,定理,向量组,B,:,b,1,b,2,b,l,能由向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,线性表示的,充分必要条件,是,矩阵,A,=(,a,1,a,2,a,m,),的秩等于,矩阵(,A,B,),=(,a,1,a,2,a,m,b,1,b,2,b,l,),的秩,即,R,(,A,),=R,(,A,B,),.,1 向量组及其线性组合,例,设有两个向量组,A,:及,B,:,向量组,B,能由向量组,A,线性表示.,1 向量组及其线性组合,推论,向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,与向量组,B,:,b,1,b,2,b,l,等价的,充分必要条件,是,R,(,A,),=R,(,B,)=,R,(,A,B,),其中,A,和,B,是向量组,A,和,B,所构成的矩阵,.,1 向量组及其线性组合,例,设有两个向量组,A,:及,B,:,向量组,B,能由向量组,A,等价.,1 向量组及其线性组合,定理,设,向量组,B,:,b,1,b,2,b,l,能由向量组,A,:,a,1,a,2,a,m,线性表示,则,R,(,b,1,b,2,b,l,),R,(,a,1,a,2,a,m,),.,1 向量组及其线性组合,例,设有两个向量组,A,:及,B,:,向量组,B,能由向量组,A,线性表示.,1 向量组及其线性组合,例,设有两个向量组,A,:及,B,:,向量组,B,能由向量组,A,线性表示.,1 向量组及其线性组合,例,设 证明向量,b,能由向量组,a,1,a,2,a,3,线性表示,并求出表示式.,解 先证,R,(,A,)=,R,(,a,1,a,2,a,3,)=,R,(,B,)=,R,(,A,b,),1 向量组及其线性组合,B,1,所对应的线性方程组为,1 向量组及其线性组合,例,证明向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价.,证,1 向量组及其线性组合,向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价.,1 向量组及其线性组合,总结,1.,n,维向量的概念，实向量、复向量；,2.向量的表示方法：行向量与列向量,3.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,谢谢观看,/,欢迎下载,BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH,内容总结,1 向量组及其线性组合。,am,对于任何一组实数k1,k2 ,。称为向量组的一个线性组合,k1,k2 ,。,am,和向量b,如果存在一组数1,2 ,。,m,使。矩阵B=(a1,a2 ,。,am 及B:b1,b2 ,。,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.。A:a1,a2 ,。,am,b1,b2 ,。,bl)的秩,即R(A)=R(A,B).。B:b1,b2 ,。R(A)=R(B)=R(A,B),。其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.。R(b1,b2 ,。,bl)R(a1,a2 ,。a3线性表示,并求出表示式.。解 先证R(A)=R(a1,a2,a3)=R(B)=R(A,b),
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