固体物理第三章总结

格波、光学支格波、声学支格波、简谐近似、色散关系（晶格振动谱）、,B,K,边界条件,方程、试探解、求色散关系及画曲线、波矢取值及范围,声子、格波支数、振动模式数、频率数、波矢数、声子种数,黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、电磁声子,能量守恒和准动量守恒,模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、德拜模型,非简谐近似、正常过程、反常过程、,第三章晶格振动,三维晶格振动,确定晶格振动谱的实验方法,晶体比热,晶体的非简谐效应,长波近似,一维晶格振动,振动很微弱时，势能展式中只保留到,2,项,3,次方以上的高次项均忽略掉的近似为,简谐近似,(忽略掉作用力中非线性项的近似),。,格波,：晶体中的原子在其平衡位置附近作微振动，由于原子间的相互作用，原子振动在晶体中传播，形成波。由于晶体中原子排列的周期性，相邻原子间存在着固定的位相关系，这种波称为格波。,一维晶格振动,在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。,模型,运动方程,试探解,色散关系,波矢,q,范围,一维无限长原子链，,m,，,a,，,晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数,B-K,条件,波矢,q,取值,n,-,2,n,n,+,1,n,+,2,n,-,1,a,m,m,一维双原子链振动,2,n,-,2,2,n,2,n,+,1,2,n,+,2,2,n,-,1,M,m,a,3,nN,种声子,3,N,种声学声子,， (,3,n,-,3,),N,种光学声子,。,3,nN,个振动模式,晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数,N,，,格波振动频率数目=晶体的自由度数,mNn,，,独立的振动模式数=晶体的自由度数,mNn,。,N,是晶体的原胞个数，,n,是原胞内原子个数，,m,是维数,。,声子,：晶格振动的能量量子。能量为,准动量为 。,三维晶格振动、声子,确定晶格振动谱的实验方法,中子的非弹性散射、光子散射、,X,射线散射,。,1.方法：,2.原理(中子的非弹性散射),3.仪器：,三轴中子谱仪。,由能量守恒和准动量守恒得：,“,+,”表示吸收一个声子,“-”表示发射一个声子,晶 体 比 热,1.固体比热的实验规律,2.频率分布函数,定义：,计算：,3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型,(1)晶体中原子的振动相互独立；,(3)设晶体由,N,个原子组成,共有,3,N,个频率为,的振动,。,(2)有一支纵波两支横波；,(3)晶格振动频率在,之间(,D,为德拜频率),。,爱因斯坦模型,德拜模型,(2)所有原子具有同一频率,；,(1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波（）；,高温时与实验相吻合，低温时以比,T,3,更快的速度趋于零。,高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。,爱因斯坦模型,德拜模型,局限性,1.非简谐效应：,3.晶体的热膨胀现象：,4.晶体的热传导现象：,高温时:,低温时:,2.声子与声子相互作用：,晶体的非简谐效应,正常过程,反常过程,长 波 近 似,长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。,离子晶体的长光学波,(1)式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第二项表示电场 附加了恢复力。,(2)式代表极化方程， 表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 附加了极化。,-,黄昆方程,1.黄昆方程,-著名的,LST,关系,光频介电,常量,静电介电常量,(2)铁电软模(光学软模),3.极化声子和电磁声子,因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以,长光学纵波声子称为,极化声子,。,长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称,长光学横波声子为,电磁声子,。,2.,LST,关系,1.,已知模式密度 求:,(1),+,d,间隔内的振动模式数;,(2),+,d,间隔内的声子数及晶体中总的声子数;,(3),+,d,间隔内的谐振子的能量及晶体的能量;,解:(1),(2),(3),2.,应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均晶格能、晶格比热及其高低温极限。,解：,（1）模式密度：,波矢空间波矢密度：,中的波矢数目：,中的振动模式数目：,一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波，三维有一支纵波两支横波，纵波与横波速度相等,（2）德拜频率,（3）德拜温度,（4）零点能,（5）平均晶格能,（6）晶体比热,高温时,低温时,3.10,设晶格中每个振子的零点振动能为,，试用德拜模型,求晶体的零点振动能。,解：,由,所以,解：,4.,具有简单立方结构的晶体，原子间距为2，由于晶体中非简谐项作用的存在，一个沿100方向传播的波矢为的声子同另一个波矢大小相等、但沿110方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子。试求新形成的第三个声子的波矢。,合成后的第三个声子的波矢方向处在1,1，0，其大小与第一，二个声子波矢大小相等。,3.17,对于,NaCl,晶体，恢复力常数 ，试以一维双原子链模型分别求出,NaCl,晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率已知,Cl,和,Na,的原子量分别为,35.5,和,23.0,）。,解：因为一维双原子晶体的色散关系为,，,（,1,）,NaCl,的恢复力常数；,（,2,）长声学波的波速；,（,3,）,NaCl,的弹性模量。,已知,Cl,和,Na,的原子量分别为,35.5,和,23.0,。,3.18,对 于,NaCl,晶 体，测 知 其 密 度 ，正 负 离子 的 平 衡 距 离 ，光 学 支 格 波 的 最 高 频 率为 。试以一维双原子链模型计算：,解：,(1),对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为,(2),对于声学波，在长波极限下，其传播速度为,（,3,）,K,是介质的弹性模量，,为介质密度,由弹性波理论知：,3.9,一维单原子链，原子质量为,m,，原子间距为,a,。计及所有原,子间的长程作用，且最近邻、,次近邻、次次近邻,原子间,恢复力,常数依次为,1,）求格波的色散关系；,2,）若恢复力常数取,式中，,常”现象：当,解：,1),设第,n,个原子对平衡位置的位移为,，第,n+p,和,n-p,个,原子的位移分别记为,和,，则第,n+p,为常数，,p,遍取所有的整数值，试证明“科恩,(Kohn),反,。,和第,n,p,个原子对第,n,个原子的作用力可写成,链上每个原子与第,n,个原子都有相互作用，故第,n,个原子的运动,方程应为,设试探解为,代入运动方程可得,故格波的色散关系为,(1),2),若,代入,(1),式得,当,时，由上式得到,(2),因为,，,(2),式的求和对无穷原子系列进行，故,必有,或,对,q,的关系曲线在,处有一条垂直的切线，即,曲线在,点处扭折，这就是“科恩反常”现象。,1.,3.对一维简单晶格，按德拜模型，求出晶格比热，并讨论高低温极限。,解：,波矢密度：,中的波矢数目：,中的振动模式数目：,高温时：,低温时：,4设一长度为,L,的一维简单晶格，原子质量为,m，,间距为,a，,原子间的互作用势可表示成,试由简谐近似求,（1）色散关系；（2）模式密度；（3）晶格热容表达式。,3.17,对于,NaCl,晶体，已知恢复力常数 ，试分别求出,NaCl,晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率。（已知,Cl,和,Na,的原子量分别为,35.5,和,23.0,）,解：因为一维双原子晶体的色散关系为,在本题设下，式中,m,、,M,分别代表,Na,、,CL,原子的质量。当括号,内取“,+”,号时代表光学支 ，取“”号时代表声学支 。从,上式得知，光学支的最大频率是,由于,，,，因而得,而光学支的最小频率是,声学支的最大频率是,（,1,）,NaCl,的恢复力常数；,（,2,）长声学波的波速；,（,3,）,NaCl,的弹性模量。,已知,Cl,和,Na,的原子量分别为,35.5,和,23.0,。,3.18,对 于,NaCl,晶 体，测 知 其 密 度 ，正 负 离子 的 平 衡 距 离 ，光 学 支 格 波 的 最 高 频 率为 。试以一维双原子晶链模型计算：,解：,(1),对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为,(1),式中， 为原子间的恢复力常数；,m,、,M,分别代表两种原子的质,量。对于,NaCL,，已知,Na,原子质量 ，,CL,原子质量 ，平衡时， 和 的距离为,， 。因此，从,(1),式可得其恢复力常数,(2),对于声学波，在长波极限下，其传播速度为,所以,(3),有弹性波理论知道，波速,式中，,E,是介质的弹性模量； 为介质密度。,，,故有,已知,3.19,设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互,斥力而达到平衡。离子的质量为,，平衡时的离子,间距为,。试求纵向格波的最高频率和最大波速。,解：,表示；,如图所示，离子的坐标由,na,由于热,运动，,。,库仑定律，两粒子间的互相斥力为,式中，,k,为静电衡量；,r,为离子间距。,(1),因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将,(1),式,括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项,它们离开平衡位置的位移记为,根据,相互作用，运动方程可表述为,如果只考虑相邻离子间的,则有,令试探解为,（,2,）,式中，,A,、,、,q,分别为振幅、角频率和波矢。,式得出,即,式中,为格波的最高角频率：,（,3,）,把上式代入,(2),把下列数据代入：,得到,最大波速对应于长波极限下的波速。,此时,q,很小，,(3),式给出,于是，得到最大波速为,3.21,试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数,是一,个常数。,证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为,(1),式中，,为晶链近邻原子间的恢复力常数；,m,为晶格原子的质,量；,a,是原子间距；,q,为格波的波矢。,因而,aq=S/N,是一个与原子间距,a,无关的参量，可以把,(1),式写成,矢,q,只能取分立值,，且,（,S,为整数），,设晶链包含,N,个原子，波,(2),此处,是一个与,a,无关的量，频率,对原子间距,a,的关系是通过恢复力,常数,相关联的。,对于一维单原子链，格林爱森常数,(3),由,(2),式得,Na,为晶链的长度。把,(3),式代入即得,(4),注意到恢复力常数,是晶格原子互作用能,U,的二次微商，,即,因而,故,(4),式可写作,因为对于已知晶格，,和,是确定的数，因此,也是确定,的常数。此外，,的出现是由于互作用能中的非谐项引起的，,如果晶体做严格的谐振动，则,，必有,。,3.22,证明：固体的体胀系数,，体积,V,和体积弹性模量,K,间,满足格林爱森关系：,。式中，,为固体的定容,热容量；,是格林爱森常数。,证明：按定义，晶体的体胀系数,使用熟知的循环关系式,上式化为,(1),式中,是体积弹性模量。,对于晶体，有格林爱森常数状态方程：,(2),式中，,U(V),是,0K,时晶体的互作用能，,为晶体热振动的平均,总能量；,是格林爱森常数。,代回,(1),式即得,无关，则有,对,(2),式求微商，由于,U(V),与温度,3.23,由正负离子构成的一维离子链，离子间距为 ，离子质量都为 ，电荷交替变化，即第 个离子的电荷 ，,原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程,作用，力系数为 ；其二是所有离子间的库仑作用。证明：,（,1,）库仑力对力常数的贡献为,（,2,）色散关系为,其中,（,3,）,时，格波为软模。,证明：,（,1,）设离子链沿水平方向。,第 个离子右端的第 个,离子与第 个离子间的库仑力为,上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。,考虑到,可将上式展成,级数，,取一级近似得,第 个离子左端的第 个离子与第 个离子间的库仑力为,取一级近似得,第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑合力为,可见库仑力对力常数的贡献为,（,2,）,第 个离子的运动方程为,设格波解,则由离子的运动方程得,令,可得,（,3,）,当,有,记,则有,由此知，当,时，,由于格波的频率,因此,说明,此振动模式对应的恢复力系数,相当于弹簧振子系统,的弹簧丧失了弹性。,所以称 的振动模式为软模。,作业中存在的问题:,若每个振子的零点振动能为,晶体的零点振动能,1.若每个振子的零点振动能为 ,用德拜模型求晶体的零点振动能.,例:在很宽的温度范围内可以把石墨作二维晶体处理,但振动模总数仍等于3,N(N,为晶体原子数).设石墨层是边长为,L,的正方形,试求:,(1),德拜频率分布函数 ;,(2),德拜截止频率和德拜温度;,(3)低温时的比热表示式.,解:,(1),由梯度定义知:,q,y,q,x,q,y,q,x,德拜模型,二维情况,一支纵波,一支横波,(2),(3),低温时:,