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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,寄 语,今日的数学，已不再是幕后英雄，而是直接活跃在技术革命第一线屡建奇功、大显神威的主力军。 “数学技术”已广泛渗透并应用于各部门各行业,包括物理学科之中，为这些部门与行业带来了新的活力。,树的影子再长，也是和树根连在一起的，同学们将来站的再高、走的再远和数学,包括数学分析,是密不可分的。,1,第,22,章,第一节、第一型曲面积分,(,或：对面积的曲面积分,),第三节、高斯,(Gauss),公式与斯托克,(Stokes),公式,曲面积分,第,22,章,本章内容：,第二节、第二型曲面积分,(,或：对坐标的曲面积分,),第四节、场论初步,2,第,3,节 场论初步,一、场的概念,二、梯度场,第,22,章,本节内容：,三、散度场,四、旋度场,五、管量场与有势场,（略）,3,一、场的概念,函数,(,物理量的分布,),数量场,(,数性函数,),场,向量场,(,矢性函数,),可微函数,梯度场,(,势,),如,:,温度场,电位场等,如,:,力场,速度场等,(,向量场,),若对全,空间或其中某一区域,V,中每一点,M,，,都有,一个数量（或向量）与之对应，则称在,V,上给定了一个数量,场,（或,向量场,）。,4,二、梯度场,方向导数公式,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,5,1.,定义,即,同样可定义二元函数,称为函数,f,(,P,),在点,P,处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明,:,函数的,方向导数,为梯度在该方向上的投影,.,向量,2.,梯度的几何意义,6,函数在一点的梯度垂直于该点等值面,(,或等值线,) ,称为函数,f,的,等值线,.,则,L,*,上点,P,处的,法向量为,同样,对应函数,有,等值面,(,等量面,),当各,偏导数不同时为零时,其上,点,P,处的法向量为,指向函数增大的方向,.,7,三、散度场,引例,.,设,稳定流动的不可压缩流体的密度为,1,速度场为,理意义可知,设, 为,场中任一有向,曲面,单位时间通过曲面, 的流量为,则由对,坐标的曲面积分的物,由,两类曲面积分的关系,流量还可表示为,8,若 为方,向向外的闭曲面,当, 0,时,说明流,入 的流体质量少于,当, 0,时,说明流,入 的流体质量多于流,出,的,则,单位时间通过, 的流量为,当,= 0,时,说明流入与流出, 的流体质量相等,.,流,出,的,表明, 内有泉,;,表明, 内有洞,;,根据高斯公式,流量也可表为,（,1,）,9,方向向外的任一闭曲面,记, 所围域为,设, 是,包含点,M,且,为了揭示场内任意点,M,处的特性,在,(1),式两边同除以, 的体积,V,并令, 以,任意方式缩小至点,M,则有,此式,反应了流速场在点,M,的特点,:,其值,为正,负或,0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化,.,10,定义,:,设有向量场,其中,P,Q,R,具有连续一阶偏导数, 是,场内的一片有向,则称,曲面,其单位法向量,n,为,向量场,A,通过,有向曲面, 的,通量,(,流量,) .,在场中点,M,(,x,y,z,),处,称为向量场,A,在点,M,的,散度,.,记作,divergence,11,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度,.,若,向量场,A,处处有,则称,A,为,无源场,.,例如,匀速场,故它是,无源场,.,说明,:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,12,例,1.,置于原点,电量为,q,的点电荷产生的场强为,解,:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符,.,13,四、 旋度场,斯托克斯公式,设曲面, 的法向量为,曲线,的单位切向量为,则,斯托克斯公式可写为,14,令,引进一个向量,记作,向量,rot,A,称为向量场,A,的,称为向量场,A,定义,:,沿有向闭曲线,的,环流量,.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式,:,旋度,.,rotation,15,设某刚体绕定轴,l,转动,M,为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,角速度为,点,M,的线速度为,(,此,即“旋度”一词的来源,),旋度的力学意义,:,16,向量场,A,产生的旋度场,穿过, 的通量,注意, 与 的方向形成右手系,!,为向量场,A,沿,的环流量,斯托克斯公式的物理意义,:,例,2.,求电场强度,的,旋度,.,解,:,(,除原点外,),这,说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋,.,17,的外法向量,计算,解,:,例,3.,设,18,向量微分算子,定义向量微分算子,:,它又称为,(,Nabla,),算子,或哈密顿,( Hamilton ),算子,.,则,19,则,高斯公式与斯托克斯公式可写成,:,20,-,场论中的三个重要概念,设,梯度,:,散度,:,旋度,:,则,内容小结,21,思考与练习,则,提示,:,三式,相加即得,22,作业,P304 2,;,4; 7,;,8,23,
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