重积分的概念及性质

,#,9.1,二重积分的概念与性质,第,9,章 重 积 分,2,问题的提出,二重积分的概念,二重积分的性质,小结 思考题 作业,double integral,9.1,二重积分,的概念与性质,第,9,章 重 积 分,柱体体积,=,底面积,高,特点：平顶,.,柱体体积,=,？,特点：曲顶,.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,步骤如下：,用若干个小,平,顶,柱体体积之,和近似表示,曲,顶,柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取小区域，,曲顶柱体的体积,分割,求和,取极限,取近似,5,(1),分割,相应地此曲顶,柱体分为,n,个小曲顶柱体,.,(2),取近似,第,i,个小曲顶柱体的体积的近似式,(,用 表示第,i,个子域的面积,).,将域,D,任意分为,n,个子域,在每个子域内任取一点,6,(3),求和,即得曲顶柱体体积的近似值,:,(4),取极限,作,),趋于零,求,n,个小平顶柱体体积之和,令,n,个子域的直径中的最大值,(,记,上述和式的极限即为,曲顶柱体体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似,看作均匀薄片，,所有小块质量之和,近似等于薄片总质量,分割,求和,取极限,取近似,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,连续函数一定可积,11,(2),3.,二重积分的几何意义,(3),(1),的,二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其,他,的部分区域上是负的.,这些,部分区域上的,柱体体积的,代数和,.,那,么，,f,(,x,y,),在,D,上,柱体体积的负值,;,柱体体积,;,当,f,(,x,y,),在,D,上的若干部分区域上是正的,12,例,设,D,为圆域,二重积分,=,解,上述积分等于,由,二重积分的几何意义,可知,是上半球面,上半球体的体积,:,R,D,?,它的面密度,平面薄片,D,的质量,即,在薄片,D,上的二重积分,二重积分的物理意义？,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,则面积元素为,三、二重积分的性质,复习：定积分的性质,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质,1,性质,2,性质,3,性质,4,性质,5,性质,5,的推论,(1),性质,5,的推论：,（,2,）,性质,6,性质,7,（定积分中值定理）,积分中值公式,性质,2,当 为常数时，,性质,1,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为,D,的面积，,性质,若在,D,上,特殊地,则有,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,解,解,解,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,29,选择题,(A),(B),(C),(D),提示:,B,设,f,(,x,y,),是有界闭区域,D,:,上的,连续函数,不存在,.,利用积分中值定理.,30,利用,积分中值定理,解,即得:,由函数的连续性知,显然,其中点,是,圆域,内的一点.,31,思考题,1,将二重积分定义与定积分定义进行比较,被积函数为定义在平面区域上,思考题解答,相同点,定积分与二重积分都表示某个和式的,极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关,.,不同点,定积分的积分区域为区间,被积函数为,定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分,区域为平面区域,的二元函数,.,找出它们的相同之处与不同之处,.,32,思考题,2,二重积分,的几何意义是以,为曲顶,D,为底的曲顶柱体体积,.,(,是非题,),非,.,33,作业,习题,9.1,(375,页,),