三角形中的几何计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,普通高中课程标准实验教科书北师大版必修,5,第二章 解三角形,2,三角形中的几何计算,阜阳三中 毛晓娜,一：课前导入,我们知道，生活中的许多实际问题，例如台风问题，测量问题等都可以归结于解三角形问题。解三角形就是通过三角形中的已知量求出未知量，关键就在于利用三角形中边与角之间的数量关系。通过前面的学习，我们已经推导出描述三角形中边与角之间数量关系的两个定理：正弦定理，余弦定理。今天，我们就来利用这两个定理来解决三角形中的几何计算问题！,学习目标,1.,熟练掌握正余弦定理，并会用这两个定理解决相关边，角，面积等问题,2.,能将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形,或利用正、余弦定理解决实际问题,正弦定理：,a,2,=,b,2,+,c,2,2,bc,cos,A,b,2,=,a,2,+,c,2,2,ac,cos,B,c,2,=,a,2,+,b,2,2,ab,cos,C,余弦定理：,二：复习回顾,问题：在已知三角形哪三个量的情况下，适用于正弦定理来求解三角形？余弦定理呢？,正弦定理：,（其中：,R,为,ABC,的外接圆半径）,三角形面积公式：,二：复习回顾,三：新知探究：,三角形中的几何计算可归结为以下几类问题,：,1,几何中的长度问题,把几何中的线段长转化为三角形的边长，在三角形中利用正、余弦定理求解,例,1,如图所示，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,=5,，,AC,9,，,BCA,30,，,ADB,45,.,求,BD,的长,.,A,B,C,D,5,9,45,30,问题,1,：的作用是什么？由它可以得出什么结论？,问题,2,：（,1,）这三个量在哪个三角形中？（,2,）这是一个什么类型的三角形问题？（,3,）从该三角形中可以求出哪些量？,问题,3,：你认为应该把,BD,放入哪个三角形中求解？为什么？,问题,4,：在 中，要求,BD,，还需要求哪些量？怎么求？,方法小结：,1.,有关线段的长度问题往往归结为求解三角形的边长，求三角形边长的问题一般会涉及正、余弦定理，恰当地选择正弦或余弦定理是解这类问题的关键,2.,解三角形的,“,归一,”,思想是什么？,由于几何体的复杂性，导致了运用的难度，在众多的角度和边长问题中，要采用,“,归一,”,思想，即归到一个三角形内计算，需要什么就在其他三角形中求什么,变式训练,1,：,如图，已知在四边形,ABCD,中，,AD,CD,，,AD,10,，,AB,14,，,BDA,60,，,BCD,135,，求,BC,的长,分析：,在,ABD,中，已知两边和其中一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到其与,BCD,的联系，可再考虑用余弦定理求出,BD,，其恰好是两个三角形的公共边，这样可在,BCD,中应用正弦定理求,BC,.,解析：,在,BAD,中，由余弦定理，得,AB,2,BD,2,AD,2,2,BD,AD,cos,BDA,.,设,BD,x,，则,14,2,x,2,10,2,2,10,x,cos60,，,x,2,10,x,96,0,，,x,1,16,，,x,2,6(,舍去,),，即,BD,16.,在,BDC,中，由正弦定理，得,2,几何中的角度和面积问题,把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个 三角形，再由三角形的面积公式求解,.,例,2,：,如图，在平面四边形,ABCD,中，,AB,AD,1,，,BAD,，而,BCD,是正三角形,(1),将四边形,ABCD,的面积,S,表示为,的函数；,(2),求,S,的最大值及此时,角的值,方法小结：,求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误,变式训练,2,：,例,3,一次机器人足球比赛中，甲队,1,号机器人由点,A,开始作匀速直线运动，到达点,B,时，发现足球在点,D,处正以,2,倍于自己的速度像点,A,作匀速直线滚动,.,如图所示，已知,若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？,A,B,D,45,3,有关的实际应用,问题,A,B,C,D,45,分析 机器人最快截住足球的地方正式机器人与足球同时到达的地方，设为,C,点,.,利用速度建立,AC,与,BC,之间的 关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题,.,A,B,C,D,45,解 设该机器人最快可在点,C,处截住足球，点,C,在线段,AD,上，设,BC,x,dm,，由题意，,CD,2,x,dm,AC,=,AD,-,CD,=(17-2,x,),dm,在,ABC,中，由余弦定理得,例题讲解,1.,正弦定理与余弦定理的公式,2.,三角形的几个面积公式,3.,正弦定理与余弦定理在几种题型中的灵活应用,课后作业,：必做：,习题,22A,组第,5.6,两题,选做：,B,组,1,2,课堂小结,：,谢谢认真听课！,