相空间刘维尔定理热力学PPT课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,弱简并理想Bose气体和Fermi气体,二、弱简并气体,1.第二级,（1）第三级,a） 第四级,第五级,*,热力学,统计物理,回顾,Chap.7,玻尔兹曼统计,Chap.8,玻色统计和费米统计,8.1,热力学量的统计表达式,8.2,弱简并理想,Bose,气体和,Fermi,气体,8.3 Bose Einstein,凝聚,8.4,光子气体,8.4,光子气体,新课,Chap.9,系综理论,9.1,相空间 刘维尔定理,知识回顾,Chap.7,玻尔兹曼统计,粒子的配分函数,Z1,基本热力学函数、内能、物态方程、熵、自由能,系统的全部平衡性质,知识回顾,满足经典极限条件的玻色和费米系统,知识回顾,Chap.8,玻色统计和费米统计,8.1,热力学量的统计表达式,抛弃粒子轨道的概念,（,1,）微观粒子的能量和动量是不连续的,（,2,）微观全同粒子不可分辨,（,3,）微观粒子的行为要满足不确定关系,（,4,）费米子受泡利不相容原理的限制,知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式,Bose,系统,Fermi,系统,知识回顾：,8.2,弱简并理想玻色和费米气体,Chap.8,玻色统计和费米统计,Chap.7,中的经典极限条件（非简并条件）：,所谓“弱简并条件”即气体的,很大,很小，但不可忽略！,知识回顾：,8.2,弱简并理想玻色和费米气体,Bose,气体,Fermi,气体,Boltzmann,气体,弱简并条件下的系统,内能的差异,（,1,）第一项是根据,Boltzmann,分布得到的内能,（,2,）第二项是量子统计关联所导致的附加内能，,弱简并的情况下附加内能很小；,Fermi,气体附加内能为正,等效的排斥作用,Bose,气体附加内能为负,-,等效的吸引作用,知识回顾：,8.3 Bose Einstein,凝聚,1.,理想,Bose,气体的化学势,2.,临界温度（凝聚温度）：,TTc,时，就有宏观量级的粒子在能级,=0,凝聚，这一现象称为,Bose-Einstein,凝聚，简称,Bose,凝聚。,5. Bose-Einstein,凝聚的条件：,4. Bose-Einstein,凝聚,Bose,凝聚体的,E=0,;,P,动量,=0; S=0; P,压强,=0,3.,T,0K,时自由电子的性质,知识回顾：,8.5,金属中的自由电子气体,T,=0K,下自由电子的性质,Fermi,能级,0K,时电子气体的压强为,3.810,10,帕。这是一个极大的数值它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果常称为电子气体的简并压,.,知识回顾：,8.5,金属中的自由电子气体,T,0K,时电子气体热容量的估计（能量均分定理，,N,有效,）,T,0K,时金属中自由电子的性质,金属中自由电子对热容量的贡献约为：,知识回顾：,8.5,金属中的自由电子气体,3.,T,0K,时自由电子气体热容量的定量计算,内能,U,在体积,V,内，在, - +d ,能量范围内的电子数为：,电子数,N,将,Fermi,积分,求出后得：,进一步化简得：,知识回顾：,8.5,金属中的自由电子气体,T0K,时，自由电子气体热容量,与估算的结果仅,有系数的差异,根据系综理论,足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。,电子,离子振动,9.1,相空间 刘维尔定理,Chap.9,系综理论,回顾：近独立粒子,平衡态统计物理的普遍理论,系综理论,应用系综理论可以研究,互作用粒子,组成的系统,9.1,相空间 刘维尔定理,如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？,9.1,相空间 刘维尔定理,一、相空间,如果系统包含多种粒子，第,i,种粒子的自由度,为,r,i,，粒子数为,N,i,，则系统的自由度为：,说明：,a,）当粒子间的相互作用不能忽略时，应把系统当作一个整体考虑,;,b,）本节主要讨论经典描述,如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？,假设系统由,N,个全同粒子组成，粒子的自由度为,r,则：系统的自由度为,f = Nr,9.1,相空间 刘维尔定理,（,1,）相空间（,空间）,系统在某一时刻的运动状态：,f,个广义坐标,系统在任一时刻的的微观运动状态 ：,以 共,2,f,个变量为直角坐标,构成一个,2,f,维空间,称为相空间,(,空间,),f,个广义动量,可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。,9.1,相空间 刘维尔定理,（,2,）系统的运动状态随时间的演化,系统的运动状态随时间而变，遵从,哈密顿正则方程,（,9.1.1,）,保守力系,9.1,相空间 刘维尔定理,若,H,不显含,t,，则,H,h,（积分常数）,稳定约束的情况下：,9.1,相空间 刘维尔定理,孤立系统,:,哈密顿量就是它的能量，包括,1),粒子的动能,;,2),粒子相互作用的势能,;,3),粒子在保守力场中的势能,它是 的函数,存在外场时还是外场参量的函数,不是时间,t,的显函数。,9.1,相空间 刘维尔定理,系统在相空间中的运动轨迹,当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在,相空间中移动，其轨道由式,(9.1.1),确定,轨道的运动方向完全由,(,q,i,和,pi,),决定,哈密顿量和它的微商是单值函数,经过相空间任何一点轨迹只能有一条,系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者,是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。,当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同,的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。,（,9.1.1,）,9.1,相空间 刘维尔定理,能量曲面,:,由于孤立系统的能量,E,不随时间改变，系统的广,义坐标和动量必然满足条件：,构成相空间中的一个曲面，称为能量曲面。,孤立系统的运动状态的代表点位于能量曲面之上,.,9.1,相空间 刘维尔定理,二、刘维尔定理,(,Liouvilles theorem,),1,、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态,出发独立地沿着正则方程,(9.1.1),所规定的轨道运动,.,（,9.1.1,）,这些系统的运动状态的,代表点,将在相空间中形成一个分布,相空间中的一个体积元,时刻,t,，运动状态在,d,内的代表点数：,9.1,相空间 刘维尔定理,所设想的系统的总数,N,2,、刘维尔定理及其证明,1),刘维尔定理,如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相,空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改,变的常数。,2),刘维尔定理的证明,9.1,相空间 刘维尔定理,证明,现在考虑代表点密度,随时间,t,的变化,当时间由,t,变到,t,+,dt,时，,在 处的代表点将运动到,这里,现在要证明,全微分,9.1,相空间 刘维尔定理,1),考虑相空间中一个固定的体积元,边界是,2,f,对平面,时刻,t, d,内的代表点数,时刻,t,+,dt, d,内的代表点数,经,d,t,时间后，,d,内代表点数的增加,9.1,相空间 刘维尔定理,代表点需要通过,2,f,对边界平面才能进入或走出体积元,d,2),现在计算通过平面,q,i,进入,d,的代表点数,d,在平面,q,i,上的边界面积,在,dt,时间内通过,dA,进入,d,的代表点必须位于以,dA,为,底、以,为高的柱体内,柱体内的代表点数是,在,dt,时间内通过平面,q,i,+,d q,i,走出,d,的代表点数,9.1,相空间 刘维尔定理,2),通过这对平面净进入,d,的,代表点数是：,走进,走出,类似的讨论可得，在,dt,时间内通过一对平面,p,i,和,p,i,+,d p,i,净进入,d,的代表点数为,9.1,相空间 刘维尔定理,在,dt,时间内通过,d,边界进入,d,内的代表点数为,9.1,相空间 刘维尔定理,刘维尔定理,Liouvilles theorem,9.1,相空间 刘维尔定理,刘维尔定理 的另一形式,9.1,相空间 刘维尔定理,说明,:,1,） 对于,t, -,t,保持不变,刘维尔定理是可逆的,2),刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中未引入任何统计的概念；,3),根据量子力学也可以证明刘维尔定理。,