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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,第4讲 n维空间中的点集,目的,：掌握n维空间中集合的内点、边界点、,聚点、开集、闭集等概念，熟练理解,Bolzano-Weirstrass 定理、Borel 有限,覆盖定理，能运用这些定理解决一些,问题。,重点与难点,：Bolzano-Weirstrass定理、,Borel有限覆盖定理。,度量空间,定义：设X为一,非空集合,，,d:XXR,为一映射，且满足,d(x,y)0，d(x,y)=0当且仅当x=y（,正定性,）,则称,(X,d),为度量空间.,d(x,y)=d(y,x)（,对称性,）,d(x,y)d(x,z)+d(z,y)（,三角不等式,）,(X,d),为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是,一个度量空间，称（Y,d）为,(X,d)的,子空间,。,例：,C,a,b,空间,(C,a,b,表示闭区间a,b上实值连续函数,全体),其中,欧氏空间,（R,n,d）,其中,离散空间,(X,d)，其中,第4讲 n维空间中的点集,二聚点、内点、边界点与Bolzano-,Weirstrass定理,问题1：给定R,n,中一个集合E及点P，P与,E有几种可能的关系？,定义1,设 ，,（i）若存在 ，使 ，则称 为,的,内点,。,（ii）若存在 ，使 ，则称 为,的,外点,。,（iii）若对任意 ，,则称 为 的,边界点,。,定义2,若对任意 ，中总有 中除 外,的点，即 ,则称 为,聚,点,。,注：有限点集没有聚点。,聚点的等价描述,证明,：显然，下证,定理1：下列条件等价：,(1)p,0,为E的聚点,(3)存在E中互异的点所成点列p,n,使得,P,0,P,n,定义：称点列p,n,收敛于p,0,记为：,(2)点p,0,的任意邻域内，含有,无穷多个,属于E而异于p,0,的点,闭包和内部的对偶关系：,定理2 若 ，则,定理3 若 ，则,定理3的证明：,由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ，,从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使,中必有无穷多个都属于 或都,属于 ，不妨设 ，则由,，知 。,如果有无穷多个在 中，则将会有 ，,总之 。,从而 。,综上 。证毕。,*定理4 （波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-,Weierstrass）定理）若 是 中一,个有界的无穷集合，则 至少有一个,聚点 ，即 。,*定理5 若 则 至少有一个,界点，即 。,与聚点相对的概念是孤立点，集合 的边界点若不是 的聚点，则称为 的,孤立点,。当然，的孤立点一定在 中。如果 的每一点都是孤立点，则 称 为,孤立集合,。,
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