3.1.2导数的概念

第一章 导数及其应用,1.1,变化率与导数,1.1.1,变化率问题,1.1.2,导数的概念,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果,微积分的产生。,牛,顿,莱,布,尼,茨,1.,了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵,.,2.,导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵,.,（重点）,探究点,1,变化率问题,问题,1,气球膨胀率,我们都吹过气球,.,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,.,从数学角度,如何描述这种现象呢,?,气球的体积,V(,单位,:L),与半径,r(,单位,:dm),之间的函数关系是,如果将半径,r,表示为体积,V,的函数,那么,当,V,从,0,增加到,1L,时,气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当,V,从,1L,增加到,2L,时,气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,显然,0.620.16,我们来分析一下,:,思考,:,当空气容量从,V,1,增加到,V,2,时,气球的平均,膨胀率是多少,?,解析：,h,t,o,问题,2,高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度,h(,单位：米,),与起跳后的时间,t,（单位：秒）存在函数关系,h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10.,如何用运动员在某些时间,段内的平均速度粗略地,描述其运动状态,?,h,t,o,解析：,h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题,:,思考：,(1),运动员在这段时间里是静止的吗,?,(2),你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗,?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在,这段时间里的运动状态,.,这里,x,看作是相对于,x,1,的一个“增量”可用,x,1,+x,代替,x,2,同样,y=f(x,2,)-f(x,1,),平均变化率定义,:,上述问题中的变化率可用式子 表示,.,称为函数,f(x),从,x,1,到,x,2,的,平均变化率,.,若设,x=x,2,-x,1,y=f(x,2,)-f(x,1,),观察函数,f(x),的图象,平均变化率,表示什么,?,O,A,B,x,y,y=f(x),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,=x,f(x,2,)-f(x,1,)=y,直线,AB,的斜率,在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,.,又如何求,瞬时速度呢,?,比如,t=2,时的瞬时速度是多少？,探究点,2,导数的概念,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢,?,求：从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,解：,t0,时,在,2,2+t,这段时间内,当,t=0.01,时,当,t=0.01,时,当,t=0.001,时,当,t=0.001,时,当,t=0.000 1,时,当,t=0.000 1,时,当,t=0.000 01,时,当,t=0.000 01,时,当,t=0.000 001,时,当,t=0.000 001,时,当,t,趋近于,0,时,平均速度有什么变化趋势,?,当,t,趋近于,0,时,即无论,t,从小于,2,的一边,还是从大于,2,的一边趋近于,2,时,平均速度都趋近于一个确定的值,13.1.,从物理的角度看,时间间隔,|t|,无限变小时,平均速度 就无限趋近于,t=2,时的瞬时速度,.,因此,运动员在,t=2,时的瞬时速度是,13.1 m/s.,从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,表示“当,t=2,t,趋近于,0,时,平均速度 趋近于确定值,13.1”.,为了表述方便，我们用,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，,然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时,速度的精确值,.,那么,运动员在某一时刻 的瞬时速,度为,探究,:,运动员在某一时刻,t,0,的瞬时速度怎样表示,?,导数的概念,:,函数,y=f(x),在,x=x,0,处的瞬时变化率是,称为函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数,记作 或,即,总结提升,求函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数的一般方法,:,求函数的增加量,2.,求平均变化率,3.,求极限,一差、二比、三极限,例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,.,如果在第,x h,时,原油,的温度,(,单位,:),为,y=f(x)=x,2,7x+15(0 x,8).,计算第,2h,与第,6h,时,原油温度的瞬时变化率,并,说明它们的意义,.,解,:,在第,2h,和第,6h,时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第,2h,和第,6h,时,原油温度的瞬时变化率分别为,3,和,5.,它说明在第,2h,附近,原油温度大约以,3 /h,的速率下降,;,在第,6h,附近,原油温度大约以,5 /h,的速率上升,.,1.,已知函数,f(x)=-x,2,+x,的图象上的一点,A(-1,-2),及,临近一点,B(-1+x,-2+y),则,=(),A.3 B.3x-(x),2,C.3-(x),2,D.3-x,D,2.,如图，函数,y=f,（,x,）在,A,，,B,两点间的平均变化率是（,）,A.1 B.-1,C.2 D.-2,B,【,解析,】,3.,求,y=x,2,在,x=x,0,附近的平均速度,.,4.,过曲线,y=f(x)=x,3,上两点,P,（,1,，,1,）和,Q(1+x,1+y),作曲线的割线，求出当,x=0.1,时割线的斜率,.,【,解析,】,析,】,.,【,2.,求函数的平均变化率的步骤,:,(1),求函数的增量,y=f(x,2,)-f(x,1,),(2),计算平均变化率,1.,函数的平均变化率,3.,求物体运动的瞬时速度：,（,1,）求位移增量,s=s(t+t)-s(t),(2),求平均速度,（,3,）求极限,4.,由导数的定义求,f(x),在,x=x,0,处的导数的一般步骤：,（,1,）求函数的增量,y=f(x,0,+x)-f(x,0,),(2),求平均变化率,（,3,）求极限,