数学教材分析(三)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中学数学教材分析（三）,一 数学教学的重点,二 数学教学的难点,四 作业,三 数学教学的关键点,（一）数学教学重点的含义,数学教学重点,指数学教材中贯穿全局，带动全面，起核心作用的内容。,“突出重点”,是数学教学的基本要求。课堂教学应把主要时间和精力放在重点内容的教学上，而不是放在多题组、大题量的强化训练上。题型教学和题海战术不能取代新授课重点和难点的教学。更有甚者，“眉毛胡子一把抓”，根本看不出其重点所在，这些做法，无论是对知识的领会，思维的训练，还是能力的培养，都是非常不利的。,一、数学教学重点,（二）如何确立教学重点,1.应用的广泛性,即教学内容在理论和实践中具有广泛的应用.举例:,(1)“三垂线定理”是公认的重点内容,原因在于它在证明线线垂直、线面垂直，作线面所成的角、二面角的平面角，求点线、点面之间的距离等方面都起着十分重要的作用。同时，三垂线定理的证明过程还包含着重要的转化思想。,(2)“换元法”因其特殊的转化功能和广泛的应用而成为重要的数学方法之一；“数形结合”的思想方法由于其工具作用和直观化、形象化的转化功能而成为重要的数学思想。,(3)“集合”这一节包括以下内容：集合与元素的概念；常用数集及其符号；元素与集合的从属关系；元素的三个基本特征；集合的分类与表示方法。本节的教学重点之一是集合的表示方法.因为学习本节的重要原因就是要利用集合语言表示不等式解集，函数的定义域和值域等。,（4）“函数的单调性”这一节包括以下内容：增函数、减函数、单调性的概念；单调性的判定。本讲的教学重点是单调性的概念。因为单调性是函数的重要性质，是对数函数、指数函数、三角函数研究的重要内容。同时单调性在比较数的大小、证明不等式、作图、求函数值域、判定方程根的情况等方面都有广泛的作用。,2.,地位的独特性,在教材中贯穿全局，起纽带作用。如三角函数的定义,（）是整个三角函数一章的根基，同角三角函数的关系，余弦和角公式的推导等都以它为基础，甚至圆的参数方程，极坐标与指教坐标系的互化都以它为依据。,3.蕴涵重要的数学思想方法,本节内容包含重要的数学思想方法，后续内容应用广泛。例如三角函数诱导公式的推导，蕴含有数形结合、化归，转化等数学思想方法。,4.培养学生能力方面能起到独特作用,如空间图形画法是学生树立空间想象能力的重要技能,（三）突出重点的基本方法,现代教学理论认为,为了使学生掌握数学学科的基本结构和发展数学能力,培养良好的个性品质,数学课堂必须遵循展现思维过程的原则,其中包括概念的发生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出的重点就必须通过思维过程的充分暴露加以实现。即实施过程教学，追求过程与结果统一。,1.让学生充分的参与,设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括，参与发现与探索，做知识的研究者和发现者，通过再创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说:“科学的顶峰总是创造性的发现.学习的过程也必须含有直接创造的侧面,即从学生的观点看是创造,通过再创造获得的知识与能力,要比以被动方式获得的,理解得更好,也更容易保持.”,案例：“虚数i开方运算”教学课例,师：我们对-1进行开平方运算时，引入了新数i，从而将实数集扩充到复数集。现在要对虚数i开平方，,是否又会出现别的新数呢？如何对,i开方呢？,我们先解决问题,，如何对,i开方？回到定义去，求i的平方根的意义是什么？,生：在复数范围内求平方为i的数,师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化）,生：设z=x+iy为i的平方根，其中x+iy,C，那么有,师：这就回到我们熟悉的问题了，这是用代数形式的表述，如果用复数的三角形式又该如何表达这个问题呢？,注意：让学生充分参与，就不应是老师包办，教师要通过精心设计的问题链来实现。,2.有步骤的引入,在体现必要性的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之与学生的认知水平同步进行。即“知其然，知其所以然”。注入式教学正是忽视了这一环节，缩减了由感性到理性的过程,如：“反正弦函数的引入”,若上课一开始就讲反函数的定义，并引入“arcsin”，学生会毫无心理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。,参考设计：1、函数 有反函数吗？能否缩小其定义域使其具有反函数？,2、函数 在其定义域内有反函数吗？在怎样的区间上可使其有反函数？,3、正弦函数 在 的反函数叫反正弦函数,若记反正弦函数为 ，则,问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出记号“”,3.全方位的审视,要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学生从各个侧面对其进行深入认识。,案例：“反函数”,审视1：反函数是函数，应满足函数的定义与特征要素,审视2：反函数中的“反”如何体现：表达式；定义域；值域,审视3：如何求一个函数的反函数？,审视4：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？,审视5：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？,案例2：函数的单调性,审视1：增函数与减函数的定义差别？,审视2：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区间,审视3：增函数与减函数的图象特点？,审视4：如何判断一个函数是增函数还是减函数？,审视5：如何证明一个函数是增函数还是减函数？,（4）多层次的练习,对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容，不仅要重视其形成、发现过程的教学，也要通过循环反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会，并学会应用。,案例：“反函数”,当看似孤立的问题运用“知识的重点”加以串联以后，就形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。,（5）变式运用,重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、变用、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的灵活性。,案例：“两角和与差的正切公式”,重要例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或条件与结论的交换、或特殊到一般的推广、或几个例题的共性分析，促进思维的深刻性。,（6）多角度的联系,通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进一步强化对新知识的认识。,如：数列通项的理解函数理解,对概率古典概型的理解集合理解,指数与对数关系的理解加与减、乘与除,直线与圆的关系理解几何（距离）、代数（方程组的解）,数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中，重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思维的广阔性。,（7）适度的引申,引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理解。,例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成充分的认识，应更深入揭示其一般规律：,函数奇偶性的实质是反映函数图象的对称性。,正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称图形和轴对称图形。,可设置以下问题：,正弦还有别的对称中心吗？,余弦函数还有别的对称轴吗？,正弦函数的图形是轴对称图形吗？,余弦函数的图形中心对称图形吗？,需要指出的是：重点内容的挖掘不是越深越好，要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难以理解，反而削弱或淡化了重点。,（8）分阶段巩固,对于重点的教学内容，不能“毕其功于一役”，应该分阶段完成。如立体几何公理2（如果两个面有一个公共点）就可以分成4个阶段完成：,首先用它指导作面面的交线和证明点共线,在讲空间直线位置关系时指导画线面的交点问题,在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题,在讲多面体时用它指导作多面体的截面,分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训练。,二、关于教学难点,(一)对教学难点的认识,1.教学难点的含义,难点是指学生接受起来比较困难的知识和方法,它是造成学生学习成绩差距的分化点.,难点具有相对性，相对于不同层次的学生而言。,2.突破难点的双重意义,消极意义：学生对教师讲授的内容体会不深，理解不透，思维受阻，随着时间的推移，会使学生逐渐失去信心，造成学习困难。,积极意义：教学难点常出现在数学思想迅速丰富、大步跳跃或较为深刻的地方，出现在数学方法较为抽象更为综合的地方。教学难点的积极意义是发展学生思维能力和提高学生数学素质的契机。现代教学理论认为，数学教学的根本任务是发展学生的思维能力。新课标强调：要培养学生克服困难的信心和意志力；要向学生提供挑战性的问题，使他们经历克服困难的活动，要让他们从这些活动中获取成功体验。因此，正确有效的利用与化解难点，是数学教学的必然结果。,（二）正确的估计难点,教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面去认识与估计难点：,1.教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生难点,案例1：初二代数“无理数”一节,无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无理数的概念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主,要还是以经验型的形象思维为主。,案例2：高中“函数”一节。,本节的教学难点是函数的概念。主要原因是：由于函数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却没有先讲映射作为铺垫。因此需要学生具备一定的抽象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高一学生而言确实较难理解。,案例3：高中“双曲线的几何性质”一节。,本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概念包含着极限思想。,案例4：高中“极限的定义”一节。,本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中,N,的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的关系让人难以捉摸。,2.教学内容的深化和学生思维定势之间的矛盾,案例1：初中“一元一次方程的应用”一节。,受小学,定势思维算术法解方程的影响，因而常想到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点。,案例2：初中“不等式的性质”一节。,受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难点。,案例3：高中“逻辑连接词”一节。,难点为：对“或”的含义的理解。主要是容易与日常用语中“或”的含义混淆。,3.教学内容之间的关系复杂,案例1：“交集并集”一节。,本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别与联系。因为逻辑中的“且”与“或”只是一字之差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。,案例2：“一元二次不等式的解法”一节。,本节教学难点是三个二次之间的关系。三个二次紧密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理,4.问题的解决途径难以探索,案例1:“函数的单调性”.,本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函数的单调性.因为证明中需要通分、提取公因式等变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。,案例2:“四种命题”.,本节的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样，灵活性强。,案例3:“两角和与差的余弦”.,本节教学难点有2：其一是余弦和角公式的推导证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的灵活应用应用的方法、技巧很多。,案例4:“正弦定理”.,本节教学难点有2：其一是正弦定理的推导证明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应用。,（三）突破难点的策略,1.发现性策略,即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生独立发现的过程,这样能较好发挥难点促进学生思维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较好的基础知识、能力准备和较充裕的时间。,案例1:“圆的切线的作法”.教学难点：切点的确定,解决该问题可以设置以下启发问题：,问题1：过P点的直线无数条，任作一条可以吗？,问题2：设PA为切线，A为切点，则OA与AP有何关系？,问题3：本题转化为在圆上找一点A，使OA,PA，怎样确定A点？,问题4：在,O,AP,中，OP是已知的，要使,OAP,为直角，怎么办？,评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法，而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技术层面而言，可归结为递推假设发现突破难