19.4综合与实践多边形的镶嵌 (3)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,19.4综合与实践：多边形的镶嵌,阜南第五初级中学,张俊奇,这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么,？,平面镶嵌,:,用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。,拼一拼 选一选,小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形,正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择,?,6,60,0,90,0,108,0,120,0,4,3,3,4,能镶嵌,能镶嵌,不能镶嵌,有空隙,能镶嵌,60 6=360,0,0,90 4=360,0,0,1083360,108 4,360,0,0,120 3=360,0,0,不能镶嵌,有重叠,实 验 结 果,正,n,边形,拼图,每个内角度数,多边形个数,结果,n = 3,n = 4,n =5,n = 6,规律,:,当正多边形的一个内角,度数能被,360,整除,时，,这种正多边形就能镶嵌,.,思考,:,仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗,?,假设正多边形的边数为,n,由,K,个正多边形恰好,可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的,K,个正多边形的,K,个内角和应等于,而正,n,边形的每个内角的度数为,所以,可得方程,整理,得,K(n-2)=2n,所以,因为,K,n,为正整数,故,n,只能等于,3,、,4,、,6.,360,这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有三种选择,:,正三角形,正方形和正六边形,.,问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么形状、大小完全相同的任意四边形能不能呢？,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,用形状、大小完全相同的,任意三角形的镶嵌,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,2,4,1,3,用形状、大小完全相同的任意,四边形进行镶嵌。,用形状、大小完全相同的任意,四边形进行镶嵌。,用形状、大小完全相同的任意,四边形进行镶嵌。,任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌,但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。,结论,想一想,如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢,?,解：设每个顶点周围有x个正三角形,和y个正四边形,则,:,60,x+90,y=360,即,:,2x+3y=12,又,x,、,y,是正整数,解得,:x=3,y=2.,即每个顶点处用正三角形的三个,内角,正方形的两个内角进行拼接,.,正三角形和正方形的平面镶嵌,正多边形,拼 图,正三角形和,正六边形,m,60+ n120=360,2,60+ 2120=360,4,60+ 1120=360,解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形,60,m+120,n=360,即,:m+2n=6,，又,m,、,n,是正整数,解得,:,即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两个正三角形和两个正六边形,.,更多的两种正多边形的镶嵌,正十二边形与正三角形的平面镶嵌,正八边形与正方形的平面镶嵌,正十边形与正五边形的平面镶嵌,两种正多边形拼接在同一点,的各个角的和恰好等于,360,这,两种正多边形就能镶嵌,.,结论,你能用三种边长相等的正多边形设计,一个图案吗？试试吧,!,请你来当设计师,三种正多边形的平面镶嵌,正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌,正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌,如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？,解：设正多边形的边数分别为,m,、,n,、,t,m,(m,2)180,n,(n,2)180,t,(t,2)180,+ + =360,3 2,（,+ +,）,= 2,m,1,t,1,n,1,m,1,+ + =,n,1,t,1,2,1,1,、平面镶嵌的定义,.,2,、正多边形平面镶嵌的条件,.,3,、关注身边的数学,关注数学中的美,.,小结,镶嵌图片欣赏：,镶嵌图片欣赏：,镶嵌图片欣赏：,镶嵌图片欣赏：,镶嵌之父,M.C.,埃舍尔是荷兰的,现代版画艺术家、,“,图形艺术家,”,，,他是一个将艺术与数学融合的画家，,着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为,“,镶嵌之父,”,。,。,埃舍尔的作品,欣 赏,生活中，墙面上贴的瓷砖一般都是长方形的，用长方形,（矩形）进行镶嵌设计，怎样设计图案最漂亮？,错位镶嵌,