微分方程的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,第一节 微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的定义,解,一、引例,例1,一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点,M,(,x,y,),处的切线的斜率为2,x,求这曲线的方程.,设所求曲线方程为,y,=,y,(,x,),则有如下关系式:,将,x,=1,y,=2 代入上式，解得,:,C,=1,故所求曲线方程为,解,例2,列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当 制动时列车获得加速度,0.4米/秒,2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？,设列车在制动后,t,秒行驶了,s=s,(,t,),米,则有如下关系式:,代入条件后知,开始制动到列车完全停住共需,列车在这段时间内行驶了,1、,微分方程定义,例,实质,:,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的,基本概念,注意,:,在一个微分方程中,自变量,未知函数可以不出现,但未知函数的导数(或微分)一定要出现.,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫,微分方程,.,（differential equation）,2、,微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的,最高阶导数的阶数,称为,微分方程的阶,.,例:,指出下列各微分方程的阶,分类,1,常微分方程：,偏微分方程,分类,2,一阶微分方程,高阶,(,n,阶),微分方程,未知函数是一元函数的微分方程.,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,3、,微分方程的解,引例,2,引例,1,4、,微分方程的解的分类,1),若微分方程的解中含有,独立的,任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程的,通解,(,general solution,).,2),用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的,特解,(,particular solution,).,引例,2,引例,1,通解,特解,特解的图象,:,微分方程的积分曲线.,通解的图象,:,积分曲线族.,3),用来确定微分方程通解中的任意常数的值的称为定解条件.,一阶,微分方程:,二阶,微分方程,:,定解条件通常也称为,初值条件,(,initial condition).,引例,2,引例,1,(,或初始条件,),过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,5、,初值问题,(,Cauchy,问题,),求微分方程满足初始条件的解的问题,.,练习题,(,A,)通解；(,B,)解，但不是通解；,(,C,)特解；(,D,)解，但不一定是通解.,4、,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,且线段,PQ,被,y,轴平分,求所满足的微分方程.,4、,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,且线段,PQ,被,y,轴平分,求所满足的微分方程.,解,如图所示,令,Y,=0,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,三、小结,练习,3,2,1,2,解,所求特解为,