概率论与数理统计-32边缘分布课件

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,3.2,边缘分布,1.,边缘分布函数,2.,二维离散型随机变量的边缘分布,3.,二维连续型随机变量的边缘分布,1,二维随机变量,(X,Y),的分量,X,和,Y,是一维随机变量,它们各有其分布，称为,(X,Y),分别,关于,X,和,Y,的边缘分布,.,本节主要讨论二维离散型随机变量,(X,Y),分别关于,X,和,Y,的边缘分布律和二维连续型随机变量,(X,Y),分别关于,X,和,Y,的边缘概率密度函数,.,2,设二维随机变量,(X,Y),的分布函数为,F,(,x,y,),，关于,X,和,Y,的边缘分布函数分别记为,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,).,注意：,由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可以决定。,联合分布可以确定边缘分布,1.,边缘分布函数,3,解,(X,Y),关于,Y,的边缘分布函数,4,对于二维离散型随机变量,(X,Y),分量,X,Y,的分布列（律）称为二维随机变量,(X,Y),的,关于,X,和,Y,的边缘概率分布,或,分布列（律）,.,设二维离散型随机变量,(X,Y),的概率分布为,P(X=,x,i,Y=,y,j,),P,ij,i,j,=1,2,.,则,P(X=,x,i,)=,2.,二维离散型随机变量的边缘分布,(,i,=1,2,.),5,同理,:,一般地,记,:,P(X=,x,i,),P,i,.,P(Y=,y,j,),P,.j,(j=1,2,.),其分布表如下,:,6,X,Y,.,7,解,P(X=,i,Y,=,j,)=P(Y=,j,|X,=,i,)P(X,=,i,)=(1/,i,)(1/4),(,i,j,),于是,(X,Y),的分布律及关于,X,和,Y,的边缘分布律为,8,例,:,把,3,个白球和,3,个红球等可能地放入编号为,1,2,3,的三个盒子中,.,记落入第,1,号盒子的白球个数为,X,落入第,2,号盒子的红球个数为,Y.,求,(X,Y),的分布律和关于,X,和,Y,的边缘分布律,.,解,显然有,又因为事件,X=,i,与事件,Y=,j,相互独立,所以有,9,用表格可如下表示,10,解,在,不放回,抽样下（上节课例题），列表如下：,11,在,放回,抽样下，两次抽取相互独立，故,P(X=0,Y=0)=P(X=0),P(Y=0)=3/5,3/5=9/25,类似地可有,P(X=0,Y=1)=6/25,，,P(X=1,Y=0)=6/25,，,P(X=1,Y=1)=4/25,，,列表如下,12,注：,由此例可见，不同的联合分布可有着相同的边缘分布，从而,边缘分布不能唯一确定联合分布！,13,3.,二维连续型随机变量的边缘分布,对于二维连续型随机变量,(X,Y),设其概率密度函数为,f,(,x,y,),，分布函数为,F,(,x,y,),，则有,14,分别称,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),为二维连续型随机变量,(X,Y),关于,X,和,Y,的边缘概率密度函数,，简称,密度函数,。,记,边缘密度函数完全由联合密度函数所决定,.,15,例,设随机变量,(X,Y),服从区域,D,上的均匀分布,其中,D=(,x,y,),x,2,+,y,2,1,求,X,Y,的边缘密度函数,f,X,(,x,),和,f,Y,(,y,).,解,(1),由题意得,:,X,Y,-1,1,当,|x|1,时,f,(,x,y,)=0,所以,f,X,(,x,)=0,当,|x|1,时,所以,16,注意,:,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,同理,17,例,设,(X,Y),的概率密度是,求,(1),c,的值；（,2,）两个边缘概率密度,.,解,(1),所以,，,c=24/5,x,y,0,1,y,=,x,18,(2),注意积分限,注意取值范围,同理,19,即,注意：,在求二维连续型随机变量的边缘概率密度时，往往要对联合概率密度在一个变量取值范围上进行积分,.,当联合密度函数是分段函数的时候，在计算积分时应特别注意积分限,.,20,例,设,随机变量,X,和,Y,具有,联合概率密度,求边缘,概率密度,f,X,(,x,),和,f,Y,(,y,).,解,21,例,设二维随机变量（,X,，,Y,）,的概率密度为,求随机变量,X,的边缘密度函数；,求概率,P(X+Y1).,解,(1),x,0,时,f,X,(,x,)=0;,x,0,时,f,X,(,x,)=,所以,P(X+Y1)=,y,=,x,x,+,y,=1,1/2,22,例,求二维正态随机变量的边缘密度函数,.,解,已知,为了计算方便，设,23,积分中的被积函数恰好是服从正态分布 的随机变量的密度函数,则,(X,Y),关于,X,的边缘密度函数为,24,由此可见：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，而且这两个边缘分布与其中的参数,无关。即,同理，,(X,Y),关于,Y,的边缘密度函数为,这表明，仅仅由,X,和,Y,的边缘分布，一般不能完全确定二维随机变量,(X,Y),的联合分布。,25,