函数项级数-幂级数分解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函 数 项 级 数,函数项级数的处处收敛性,收敛点,，收敛点的全体称为,收敛域,。类似地有发散点和发散域的定义。,幂 级 数,定义:,定理1(,Abel,定理),几何说明,绝对收敛区域,发散区域,发散区域,幂级数收敛区间关于原点对称！,定理2,定义1,幂级数的收敛域可能包含端点而收敛区间只能是开区间：,规定：,定理3,定理3,性质,定理4,定理5(内闭全都收敛性),定理6,逐项求导或积分后所得到幂级数收敛半径不变。,但在收敛区间端点处的敛散性可能转变。,例 1,例 2,例 3 求以下幂级数的收敛半径、收敛区间与,收敛域:,例 4,求幂级数的收敛域及和函数,例 5,求级数的和,函数开放成幂级数,Taylor,级数,函数 f(x)开放成幂级数是指存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数.,定义,定理1(函数能开放成Taylor级数的充要条件),唯一性:,若,f,(,x,)可展开为,x,的幂级数，则它 的展开式必唯一，即为,Maclaurin,级数,特别当,1.直接法(Taylor级数法),第一步,其次步,函数开放成幂级数,第三步,第四步,2.间接法,依据唯一性,利用常见开放式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法，求开放式.,常见的根本初等函数的Maclaurin开放式,例,6,例,9,例,8,例,7,例,11,例,10,例,12,例,13,例,14,