资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十四节 反常积分与,第十四节 反常积分与,1,一.含参变量的积分,1.连续性质,定理,若函数 在矩形域,连续，则函数,在区间也连续,一.含参变量的积分1.连续性质定理若函数 在矩形,2,定理2,设 在,上连续，且无穷积分,在 上一致收敛，则一元函数,在 上连续。,(一).利用连续性,极限和积分可交换顺序,1.,2计算极限,定理2 设 在上连续，且无穷积分在 上一致,3,定理3,若函数与 在矩形域,连续，则函数,在区间 可导，且,，有,或,二.可微性质,定理3 若函数与 在矩形域连续，则函数在区间,4,定理,若函数 与 在矩形域,连续，而函数 与,在区间 可导，且,，有,则函数 在区间 可导,且,定理 若函数 与 在矩形域连续，而函数,5,定理5,若函数 与 在区域,上连续，且无穷积分,在区间 上收敛，,而无穷积分 在区间,一致收敛,则函数,在区间 可导,且,定理5 若函数 与 在区域上连续，,6,(二)利用可微性 求导与积分可交换顺序,1.计算积分,(二)利用可微性 求导与积分可交换顺序1.计算积分,7,2.设,其中 是连续函数,求,3.证明:若函数 在区间 连续,则,有,2.设其中 是连续函数,求3.证明:若函数,8,定理6,若函数 在矩形域,连续，则函数,在区间 可积，且,三.可积性质,定理6 若函数 在矩形域连续，则函数在区间,9,定理7,设 在区域,上连续，且无穷积分,在 上一致收敛，则一元函数,在 可积,且,积分号下可积分.,定理7 设 在区域上连续，且无穷积分在,10,(三)利用可积性 积分可交换顺序,1.计算积分,(三)利用可积性 积分可交换顺序1.计算积分,11,四.无穷积分一致收敛的判别方法,定理8,若,且无穷积分 收敛,则无穷积分,在区间 一致收敛.,四.无穷积分一致收敛的判别方法定理8 若且无穷积分,12,定理9 狄利克雷判别法,若 满足：,）当 时,积分 对,一致有界,；,）是的,单调函数,，且,时，关于,一致趋于,则无穷积分在,上一致收敛,定理9 狄利克雷判别法若 满足：）当,13,定理10 阿贝耳判别法,若 满足：,则无穷积分 在,上一致收敛,1)关于,一致收敛,;,2)函数 关于 单调,且关于 在,上,一致有界,.,定理10 阿贝耳判别法若 满足：则无穷积,14,(四)证明下列各题,在R上一致收敛,在上不一致收敛,其中是常数,一致收敛,(四)证明下列各题在R上一致收敛在上不一致收敛其,15,定理11,设,有,c是正常数。,收敛，则无穷积分,若无穷积分,也收敛.,发散，则无穷积分,2.若无穷积分,也发散.,五.积分收敛的判别方法,定理11 设有c是正常数。收敛，则无穷积分若无穷积分也收,16,定理12,设有,c是正常数。,若瑕积分 收敛（是瑕点），,也收敛,则瑕积分,2.若瑕积分 发散（是瑕点），,则瑕积分 也发散。,定理12 设有 c是正常数。若瑕积分,17,推论1,函数,且,极限,1.若,则无穷积分,收敛；,则无穷积分,发散。,2.若,推论1函数且极限1.若则无穷积分收敛；则无穷积分发散。2.若,18,推论2,设 若函数,是瑕点，且极限,）若 ，则瑕积分,收敛,）若 ，则瑕积分,发散,注:,关键是找到合适的 .,推论2设 若函数是瑕点，且极限）若,19,(五)判断下列积分的收敛性,(五)判断下列积分的收敛性,20,(六)判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛.,(六)判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛.,21,
展开阅读全文