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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章不等式,第三章不等式,1.,熟练掌握基本不等式,并会证明,.,2.,会用基本不等式解决简单的最大,(,小,),值问题,.,3.,能够运用基本不等式解决生活中的应用问题,.,问题导学,题型探究,归纳总结,学习目标,1.熟练掌握基本不等式并会证明.问题导学题型探究归纳总结学习,该图是在北京召开的第,24,界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家,赵爽的弦图,设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,问题导学,1,：,.,3,该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标,a,b,1,、正方形,ABCD,的面积,S=,、四个直角三角形的,面积和,S,=,、,S,与,S,有怎样的不等关系？,S,S,那么它们有相等的情况吗？,(ab),.,4,ab1、正方形ABCD的面积、四个直角三角形的、S与S,A,D,B,C,E,F,G,H,b,a,猜想：一般地，对于任意实数,a,、,b,，我们有,当且仅当,a=b,时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(a,b),.,5,ADBCEFGHba猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们,思考：,你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,.,6,思考：你能给出不等式 的证明吗？证,重要不等式：,一般地，对于任意实数,a,、,b,，总有,当且仅当,a=b,时，等号成立,适用范围：,a,b,R,.,7,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有适用范围：a,b,替换后得到：,即：,即：,问题一,.,8,替换后得到：即：即：问题一.8,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然,是成立的,.,当且仅当,a,=,b,时,中的等号成立,.,分析法,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,.,9,证明：要证 只要证要证，只要证要证，只要证显然,若,a,0,，,b,0,，则,通常我们把上式写作：,当且仅当,a,=,b,时取等号，这个不等式就叫做基本不等式,.,基本不等式,定义,适用范围：,a,0,b,0,.,10,若a0，b0，则通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取,观察下图，你能得到不等式,的几何解释吗？,问题导学,2,：,.,11,观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？问题导学2：.11,当且仅当,a,=,b,时取等号,.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数,a,，,b,的,算术平均数,，,叫做正数,a,，,b,的,几何平均数,；,文字叙述为：,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,.,.,12,当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把,适用范围,文字叙述,“=”,成立条件,a,=,b,a,=,b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的,2,倍,a,b,R,a,0,b,0,比较,重要不等式,和,基本不等式,：,.,13,适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均,题,型一基本不等式与最值,二、题型探究,一正,二定,三相等,题型一基本不等式与最值二、题型探究,二定,凑项：使和成定值,一正,三相等,二定一正三相等,解,x,2,，,x,20,，,二定,凑项：使积成定值,一正,三相等,解x2，x20，二定一正三相等,即,x,4,，,y,12,时，上式取等号,.,故当,x,4,，,y,12,时，,(,x,y,),min,16.,“,1,”的代换,即x4，y12时，上式取等号.“1”的代换,反思与感悟,在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值,(,恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧,),；三是考虑等号成立的条件,.,口诀：一正、二定、三相等,反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正,f,(,x,),的最小值为,12.,f(x)的最小值为12.,解,x,3,，,x,30.,f,(,x,),的最大值为,1.,解x3，x30.f(x)的最大值为1.,题型,二基本不等式在实际问题中的应用,例,2,(1),用篱笆围一个面积为,100 m,2,的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解,设矩形菜园的长为,x,m,，宽为,y,m,，,则,xy,100,，篱笆的长为,2(,x,y,)m.,等号当且仅当,x,y,时成立，此时,x,y,10.,因此，这个矩形的长、宽都为,10 m,时，所用篱笆最短，最短篱笆为,40 m.,题型二基本不等式在实际问题中的应用等号当且仅当xy时成立,(2),一段长为,36 m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解,设矩形菜园的长为,x,m,，宽为,y,m,，,则,2(,x,y,),36,，,x,y,18,，矩形菜园的面积为,xy,m,2,.,当且仅当,x,y,，即,x,y,9,时，等号成立,.,因此，这个矩形的长、宽都为,9 m,时，菜园的面积最大，最大面积为,81 m,2,.,(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长,利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大,(,小,),值及取最大,(,小,),值的条件,.,反思与感悟,利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关,练习,2,某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,4 800 m,3,，深为,3 m,，如果池底每,1 m,2,的造价为,150,元，池壁每,1 m,2,的造价为,120,元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？,解,设水池底面一边的长度为,x,m,，,又设水池总造价为,y,元，根据题意，,答,水池底面为正方形且边长为,40 m,时总造价最低，最低总造价为,297 600,元,.,练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800,归纳总结,基本不等式求最值的条件：,(1),x,，,y,必须是,；,(2),求积,xy,的最大值时，应看和,x,y,是否为,；求和,x,y,的最小值时，应看积,xy,是否为,；,(3),等号成立的条件是否满足,.,正数,定值,定值,即：,已知,x,y,都是正数,P,S,是常数,.,(1),xy,=,P,x,+,y,2,P,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,(2),x,+,y,=,S,xy,S,2,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,1,4,归纳总结基本不等式求最值的条件：正数定值定值即：已知 x,大家来找茬：,错,在哪里？,.,2,原式有最小值,1,2,x,x,x,2,1,:,解,=,+,x,;,0,),1,(,的最值,求,已知,1,+,x,x,x,不满足,“,一正,”,.,26,大家来找茬：错在哪里？.2原式有最小值12xxx,21:,不满足,“,二定,”,.,27,不满足“二定”.27,不满足,“,三相等,”,.,28,不满足“三相等”.28,三、归纳总结：,已知,x,y,都是正数,P,S,是常数,.,(1),xy,=,P,x,+,y,2,P,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,(2),x,+,y,=,S,xy,S,2,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,1,4,2.,利用基本不等式求最值,1.,两个不等式,口诀：一正、二定、三相等,.,29,三、归纳总结：已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.,
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