常数项级数的概念和性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第12章,无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数,1,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,*四、柯西审敛原理,第一节,第12章,常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的,2,教学目的与要求：,理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；,掌握,几何级数(,等比级数),的收敛性,重点：,无穷级数收敛、发散以及和的概念,几何级数(,等比级数),的收敛性,教学目的与要求：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的,3,一、,问题的提出,引例1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,一、问题的提出 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,4,引例2.,小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减,少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设,t,k,表示第,k,次小球落地的时间,引例2.小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,5,二、,常数项级数的概念,定义,：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,无穷级数,，,其中第,n,项,叫做级数的,一般项,次相加,简记为,部分和数列,级数的,部分和,二、常数项级数的概念 定义：给定一个数列将各项依即称上式为无,6,2.级数的收敛与发散:,2.级数的收敛与发散:,7,当级数收敛时,称差值,为级数的,余项,.,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对,称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此,类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到,了,面积有限,而,周长无限,的图形“Koch雪花”,当级数收敛时,称差值为级数的余项.余项无穷级数收敛性举例：,8,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放,9,周长为,面积为,第 次分叉：,周长为面积为第 次分叉：,10,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极,11,解,解,12,收敛,发散,发散,发散,综上,收敛 发散 发散 发散 综上,13,解,已知级数为等比级数，,解已知级数为等比级数，,14,解,解,15,技巧:,利用“,拆项相消,”求和,技巧:利用“拆项相消”求和,16,例4.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为,17,解,等比级数,解等比级数,18,三、无穷,级数的基本性质,结论,:,级数的每一项同乘一个,不为零,的常数,敛散性不变.,结论:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,三、无穷级数的基本性质 结论:级数的每一项同乘一个不为零的,19,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.,20,解,解,21,常数项级数的概念和性质课件,22,证明,类似地可以证明在级数,前面,加上（或去掉）,有限项,不影响级数的敛散性.,证明 类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）有限,23,证明,证明,24,注意,收敛级数,去括弧,后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛 发散,25,例6.,判断级数的敛散性:,解:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,例6.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而,26,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,四、收敛的必要条件证明级数收敛的必要条件:,27,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要,28,讨论,讨论,29,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,8项4项2项2项 项由性质4推论,调和级数发散.,30,例5.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解,:,(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1),31,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2),32,这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),这说明原级数收敛,其和为 3.(3),33,的充要条件是:,*五、柯西审敛原理,定理.,有,证:,设所给级数部分和数列为,因为,所以,利用数列,的柯西审敛原理,(第一章,第六节),即得本定理的结论.,的充要条件是:*五、柯西审敛原理 定理.有证:设所给级数部,34,例7.,解:,有,利用柯西审敛原理判别级数,例7.解:有利用柯西审敛原理判别级数,35,当,n,N,时,都有,由柯西审敛原理可知,级数,当 nN 时,都有由柯西审敛原理可知,级数,36,六、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,六、小结常数项级数的基本概念基本审敛法,37,思考题,思考题,38,思考题解答,能,由柯西审敛原理即知,思考题解答能由柯西审敛原理即知,39,练习题,练习题,40,常数项级数的概念和性质课件,41,练习题答案,练习题答案,42,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,43,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,44,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,45,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,46,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,47,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,48,