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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,热点考向1 排列组合问题,【例1】(1)(2011邯郸模拟)2位男生和3位女生站成一排照相，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为(),(A)36 (B)48 (C)72 (D)96,(2)(2011广州模拟)现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高.则不同的选法共有(),(A)50种 (B)49种 (C)48种 (D)47种,【解题指导】,(1)先从3位女生中选出2位看成一个整体，和另一位女生插在两位男生的空位上.,(2)对5名同学编号，然后对A组中的同学按高矮讨论.,【规范解答】,(1)选C.从3位女生中选出2位且排列的种数,是 两位男生的排列数为 将女生插在男生的空位的方,法数是,故不同的排法种数有 =72种.,(2)选B.给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M=1，2，3，4，5.,若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小,组B是2，3，4，5的非空子集，这样的子集有,=2,4,-1=15个，不同的选法有15种；若A中最高者为2，则这,样的小组A有2个：2、1，2，能使B中最矮者高于A中最高者,的小组B是3，4，5的非空子集，这样的子集(小组B)有2,3,-1=7,个，不同的选法有27=14种；若A中最高者为3，则这样,的小组A有4个：3、1,3、2,3、1,2,3，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是4,5的非空子集，这样的子集(小组B)有2,2,-1=3个，不同的选法有43=12种；若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：,4、1,4、2,4、3,4、1,2,4、1,3,4、2,3,4、1,2,3,4，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有51个，不同的选法有8种.,综上，所有不同的选法是15+14+12+8=49种.,【变式备选】在本例(1)中，(1)若两位男生相邻，三位女生排在一起的排法有多少种；(2)若两位男生不相邻又有多少种不同的排法.,【解析】,(1)两位男生排在一起的排法数有,三位女生排在一起的排法数有,故所有的排法数有 =24种.,(2)先将三位女生排列排法数有 再将男生插在女生的空,位里，有排法数 所以共有排法数 =72种.,排列组合问题的求解策略,(1)解答排列、组合问题的思维过程:,首先搞清完成这件事是否需要分类，还是分步；,在每一类中,每一步的计算是属于排列问题还是组合问题.,最后利用两个原理及相关的计数公式进行计算并作出回答.,(2)常见的题型有:在与不在问题、相邻与不相邻问题、至多与至少问题.,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/20,2024/11/20,2024/11/20,11/20/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/20,2024/11/20,20 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/20,2024/11/20,2024/11/20,2024/11/20,(3)解决问题的基本原则是先排特殊元素(位置)再排一般元素(位置).,1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(),(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种,【解析】,选B.分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠,送方法有 =4种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠,送方法有 =6种.故赠送方法共有10种.,2.设集合A=0,2,4、B=1,3,5，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有(),(A)24个 (B)48个 (C)64个 (D)116个,【解析】,选C.(1)只含0不含5的有：=12；,(2)只含5不含0的有：=12；(3)含有0和5的有：,0在个位时，有 =24；5在个位时，有,=16.共有12+12+24+16=64个.,热点考向2 二项式定理,【例2】(12分)(2011成都模拟)已知(2 ),n,展开式中的第五、第六、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数.,【解题指导】,问题的关键在于求n，当n确定后，可由二项式系数的性质求解.,【规范解答】,由于第五、第六、第七项的二项式系数成等,差数列可得,2分,即,化简得,n,2,21n,98,0,，,6,分,解得,n,14,或,7,，,8,分,当n14时，二项式系数最大的项是第8项，其系数为,3 432；当n7时，二项式系数最大的项是,第4项和第5项，第4项的系数为 70，,10分,第5项的系数为,12分,1.二项式问题的常见题型及解决方法:,(1)单一幂结构型:如(a+b),n,可直接使用通项公式求解;(a+b+c),n,可使用二项式展开原理求解也可以转化为(a+b)+c,n,求解,(2)幂的乘积结构:若能化简,则先化简，再利用多项式乘法寻找所求项的构成规律.,(3)幂的和差结构:一般先求各项幂的指定项(系数),再求和.或者先进行求和,再确定所求项(系数),2.此类题型主要考查以下两个知识点及一个能力:,(1)二项式展开式的结构.,(2)二项式系数的性质.,(3)分析问题解决问题的能力.,1.正确区分展开式的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”.,2.对于求多个二项式的和或积及三项式中某项的系数问题，注意排列组合知识的应用，对于三项式问题，一般转化为二项式定理去处理.,1.在(x-),18,展开式中含x,15,的项的系数为_.(结果用数值表示),【解析】,二项式展开式的通项公式为T,r+1,=,令18-r-r=15r=2，含x,15,的项的系数为 =17，故填17.,答案:,17,2.设(x-1),21,=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,21,x,21,，则a,10,+a,11,=_.,【解析】,a,10,=(-1),11,=-,a,11,=(-1),10,=所以a,10,+a,11,=-=0.,答案:,0,热点考向3 抽样方法,【例3】(1)(2011南通模拟)2011年3月11日，日本发生了9级大地震并引发了核泄漏，某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(),(A)4 (B)5 (C)6 (D)7,(2)(2011哈尔滨模拟)某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是_.,【解题指导】,(1)先求出样本比，再计算抽取的植物油类与果蔬类食品种数；(2)根据分层抽样原理,分别估计普通家庭和高收入家庭拥有3套或3套以上住房的户数,进而得出100 000户居民中拥有3套或3套以上住房的户数,用它除以100 000即可得到结果.,【规范解答】,(1)选C.共有食品100种，抽取容量为20的,样本，各抽取 故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和,为2+4=6.,(2)该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计约有:,99 000 +1 000 =5 700(户),所以所占比例的合理估计为,5 700100 000100%=5.7%.,答案:,5.7%,抽样方法的确定,科学抽取样本是对总体分布进行估计的基础,合理的选取抽样方法又是关键.总体中个体之间的差异是采用分层抽样的标准,利用分层抽样抽取样本的关键是确定抽取比例.,1.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为_.,【解析】,由题意知,抽取比例为3386,所以应在丙专,业抽取的学生人数为40 =16.,答案:,16,2.从8名女生、4名男生中选出三名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为_.,【解析】,按性别比例分层抽样，则从8名女生中选2名，有,种选法，从4名男生中选1人，有 种选法，故共有,=112种不同的抽取方法种数.,答案：,112,热点考向4 频率分布直方图的应用,【例4】(1)(2011浙江高考)某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图，3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_.,(2)(2011邯郸模拟)为了解某校今年高三学生的体重情况,将抽样所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123,第二小组的频数为12，则抽取的学生人数是_.,【解题指导】,解题的关键是频率分布直方图每个小矩形的面积等于这一组的频率.,【规范解答】,(1)该次数学考试中成绩小于60分的学生的频率是(0.002+0.006+0.012)10=0.2，,0.23 000=600.,答案:,600,(2)由频率分布直方图知，后两组的频率为(0.012 5+0.037 5)5=0.25,设第一小组的频率为x，则x+2x+3x+0.25=1，解得x=0.125，所以第二小组的频率为0.25，又第二小组的频数为12，所以抽取的学生人数为120.25=48.,答案：,48,频率分布直方图的应用问题,(1)在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于1,每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量;,(2)在频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的频率/组距,它们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率;,(3)对于开放性问题的回答,要选择适当的数据特征进行考查,根据数据特征分析得出实际问题的结论.,为了调查一个小水库中养殖某种鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示),(1)画表格并填写相应的分组和频率；,(2)估计数据落在1.15,1.30)中的概率为多少；,(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.,【解析】,(1)由频率分布直方图和频率=组距(频率/组距)可得下表.,(2)0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在1.15,1.30)中的,概率约为0.47.,(3)由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：设水库中,鱼的总条数为N，则 即N=2 000条，故水库中鱼的,总条数约为2 000条.,函数与方程思想解答二项式问题,函数与方程思想主要解决的问题,(1)函数思想是运用运动和变化的观点,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系,再利用函数的图象或性质去分析问题、转化问题,从
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