第6章结构位移计算第4版课件

,2-1,几何构造分析的几个概念,2-2,平面几何不变体系的组成规律,2-3,平面杆件不变体系的计算自由度,2-6,小结,第六章 结构位移计算,6-1,概述,6-2,变形体系的虚功原理,6-3,位移计算的一般公式 单位荷载法,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,6-5,图乘法,6-6,静定结构温度变化时的位移计算,6-7,静定结构支座移动时的位移计算,6-8,线弹性结构的互等定理,6-9,空间刚架的位移计算公式,第六章 结构位移计算6-1 概述6-2 变形体,6-1,概述,变形：,结构形状的改变。,位移：,结构各处位置的移动。,线段,AA,A,点的线位移，计为,A,。,截面,A,转动的角度,截面,A,的角位移，,计为,A,。,A,可用水平分量,Ax,和竖向分量,Ay,表示,。,6-1 概述变形：结构形状的改变。位移：结构各处位置的移,6-1,概述,截面,A,的角位移（顺时针方向）,截面,B,的角位移（逆时针方向）,截面,A,、,B,的相对角位移,C,点水平线位移（向右）,D,点水平线位移（向左）,C,、,D,两点的水平相对线位移,产生位移的原因：荷载,温度改变,支座移动,材料收缩,制造误差,6-1 概述截面A的角位移（顺时针方向）截面B的,6-1,概述,计算结构位移的目的,（,1,）为了校核结构的刚度。,（,2,）结构的施工中，也需要结构的位移。,（,3,）为分析超静定结构打下基础。,（,4,）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。,图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移,f,A,。必须先计算,f,A,，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。,6-1 概述计算结构位移的目的（1）为了校核结构的刚,6-2,变形体系的虚功原理,变形体系的虚功原理：,变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单地说，,外力虚功等于变形虚功,。,位移状态与,力状态无关,虚位移必须是微小的,6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理：位移状,6-2,变形体系的虚功原理,外力虚功,W,：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其,相应的虚位移上所作虚功的总和。,变形虚功,W,V,：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上,所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。,略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：,对整个结构有：,虚功方程为：,6-2 变形体系的虚功原理外力虚功W：整个结构所有外,6-2,变形体系的虚功原理,虚功原理的应用,虚位移原理：,对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利用虚功方程求解力状态中的未知力。,虚力原理：,对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用虚功方程求解位移状态中的位移。,6-2 变形体系的虚功原理虚功原理的应用虚位移原理：,6-3,位移计算的一般公式 单位荷载法,图,a,所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，求,K,点沿任一指定方向,k,k,的位移,K,。,虚设力状态如图,b,，使力状态的外力能在位移状态的,K,上作虚功。,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,外力虚功为,变形虚功为,由虚功原理,平面杆件结构位移计算一般公式,设,F,K,=1,单位荷载法,6-3,位移计算的一般公式 单位荷载法,外力虚功为变形虚功为由虚功原理平面杆件结构位移计算一般公式设,图,a,为求,A,点水平位移时的虚拟状态,图,b,为求,A,截面转角时的虚拟状态,图,c,为求,A,、,B,两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态,图,d,为求,A,、,B,两个截面相对转角时的虚拟状态,广义位移,：,线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。,广义力,：,集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。,6-3,位移计算的一般公式 单位荷载法,图a为求A点水平位移时的虚拟状态图b为求A截面转角时的虚拟状,求图,a,所示桁架,AB,杆的角位移。,在位移微小的前提下，桁架杆件的角位移,=,其两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移除以杆长，如图,b,。,AB,杆的角位移,荷载所做的虚功,6-3,位移计算的一般公式 单位荷载法,求图a所示桁架AB杆的角位移。在位移微小的前提,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合,胡克定律。,求图,a,所示结构,K,点的竖向位移,K,P,。位移计算公式为,虚拟状态如图,b,所示。由材料力学,k,剪切变形的,改正系数,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算计算对象：线弹性结,平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：,梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：,桁架（只有轴力）的位移计算公式为：,组合结构（受弯杆件,+,链杆）的位移计算公式为：,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：梁和刚架（受弯杆件,例,6-1,试求图,a,所示刚架,A,点的竖向位移,Ay,。各杆的材料相,同，截面的,I,、,A,均为常数。,解：,（,1,）虚拟状态如图,b,，各杆内力为,AB,段：,BC,段：,（,2,）实际状态中，各杆内力为,AB,段：,BC,段：,（,3,）代入位移计算公式,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移Ay。各杆的材料,（,4,）讨论,上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。,设：杆件截面为矩形，宽度为,b,、高度为,h,，,A,=,bh,，,I,=,bh,3,/12,，,k,=6/5,截面高度与杆长之比,h,/,l,愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。,当,h,/,l,=1/10,，,G,=0.4,E,时，计算得,此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,（4）讨论上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、,例,6-2,试求图,a,所示等截面圆弧曲梁,B,点的水平位移,Bx,。设,梁的截面厚度远小于其半径,R,。,解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯,矩影响。实际状态中的截面弯矩为,虚拟状态,虚拟状态如图,b,，截面弯矩为,代入位移计算公式，可得,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,例6-2 试求图a所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移Bx。,例,6-3,试求图,a,所示对称桁架结点,D,的竖向位移,D,。图中右半,部各括号内数值为杆件的截面面积,A,（,10,-4,m,2,），,E,=210GPa,。,解：实际状态各杆内力,如图,a,（左半部）。,虚拟状态各杆内力如图,b,（左半部）。,注意桁架杆件轴力是正对称的,6-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移D。图中右,6-5,图乘法,梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为,公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：,（,1,）杆轴为直线；,（,2,）,EI,=,常数；,（,3,）,M,和,M,P,两个弯矩图中至少有一个是直线图形。,计算可以简化,如图：,d,s,用,d,x,代替，,EI,可提到积分号外。,tan,为常数,6-5 图乘法梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为公,6-5,图乘法,M,P,图中阴影的微分面积,微分面积对,y,轴的静矩,A,M,P,图的面积；,x,C,形心,C,到,y,轴的距离。,y,C,是,M,P,图的形心,C,所对应的,M,图的竖标,图乘法,6-5 图乘法MP图中阴影的微分面积微分面积对y轴的,6-5,图乘法,如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为,应用图乘法时，应注意下列各点：,（,1,）必须符合上述前提条件。,（,2,）竖标,y,C,只能取自直线图形。,（,3,）,A,与,y,C,若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。,6-5 图乘法如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算,6-5,图乘法,常用简单图形的面积和形心,6-5 图乘法常用简单图形的面积和形心,6-5,图乘法,两个梯形相乘时：,将,M,P,图分解为两个三角形（或一个矩形和一个三角形）。,两个图的竖标,a,、,b,或,c,、,d,不在基线同一测时：可分解为位于基线两侧的两个三角形，在进行图乘。,6-5 图乘法两个梯形相乘时：两个图的竖标a、b或c,6-5,图乘法,均布荷载作用下的任何一段直杆：,弯矩图,=,一个梯形,+,一个标准抛物线图形如图,a,。,图,a,的弯矩图与图,b,所示相应简支梁的弯矩图是相同的，由此可以很方便地进行图乘。,6-5 图乘法均布荷载作用下的任何一段直杆：,6-5,图乘法,y,C,所在图形是折线图形时，应分段图乘。如图所示。,杆件为变截面直杆时，应分段图乘。如图所示。,6-5 图乘法 yC所在图形是折线图形,6-5,图乘法,例,6-4,试求图,a,所示刚架,C,、,D,两点的距离改变。设,EI,=,常数。,解：实际状态弯矩图如图,b,所示。,虚拟状态如图,c,所示。,由图乘法，可得,6-5 图乘法例6-4 试求图a所示刚架C、D两点,6-5,图乘法,例,6-5,试求图,a,所示刚架,A,点的竖向位移,Ay,，并勾绘刚架的,变形曲线。,解：实际状态弯矩图如图,b,所示。,虚拟状态弯矩图如图,c,所示。,根据实际状态弯矩图，判定杆件变形后的凸凹方向。,6-5 图乘法例6-5 试求图a所示刚架A点的竖向,6-5,图乘法,例,6-6,试求图,a,所示外伸梁,C,点的竖向位移,Cy,，梁的,EI,=,常数。,解：实际状态弯矩图如图,b,所示。,虚拟状态弯矩图如图,c,所示。,将,AB,段的弯矩图分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。,由图乘法得,6-5 图乘法例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖,6-5,图乘法,例,6-7,图,a,为一组合结构，试求,D,点的竖向位移,Dy,。,解：实际状态,F,NP,、,M,P,如图,b,所示。,虚拟状态,F,N,、,M,如图,c,所示。,6-5 图乘法例6-7 图a为一组合结构，试求D点,6-6,静定结构温度变化时的位移计算,试求图,a,所示结构由于温度变化产生的,K,点的竖向位移,Kt,。,为材料的线膨胀系数。,杆轴线处的温度变化为,对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，,t,=0,。,杆件截面对称于形心轴,6-6 静定结构温度变化时的位移计算 试求,将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得,若各杆为等截面杆,符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；,弯矩,M,以使,t,2,边受拉为正。,对于桁架,对于桁架由于杆件制造误差,6-6,静定结构温度变化时的位移计算,将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得若各杆为等截面杆,例,6-8,图,a,所示刚架施工时温度为,20,，试求冬季当外侧温度为,-10,，内侧温度为,0,时,A,点的竖向位移,Ay,。已知,l,=4m,，,=10,-5,-1,，各杆均为矩形截面，高度,h,=0.4,m,。,解：虚拟状态如图,b,，轴力图、弯矩图如图,c,、,d,。外侧温度变化为,t,1,，,t,1,=-30,，,内侧温度变化为,t,2,=-20,。,6-6,静定结构温度变化时的位移计算,例6-8 图a所示刚架施工时温度为20，试求冬季当外侧温,6-7,静定结构支座移动时的位移计算,图,a,所示静定结构，其支座发生了水平位移,c,1,、竖向沉陷,c,2,和转角,c,3,，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，如,K,点的竖向位移,Kc,。,对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为,为虚拟状态的支座反力,与,c,方向一致时其乘积取正,6-7 静定结构支座移动时的位移计算 图a,例,6-9,图,a,所示三角刚架右边支座的竖向位移,By,=0.06m,水,平位移为,Bx,=0.06m,已知,l,=12m,，,h,=8m,。试求由此引,起的,A,段转角 。,解：虚拟状态及支座反力计算结果如图,b,。,6-7,静定结构支座