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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,【,考纲下载,】,1.,理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用,2,理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点,3,了解指数函数,y,a,x,与对数函数,y,log,a,x,互为反函数,(,a,0,，且,a,1).,第,8,讲 对数与对数函数,(1),定义：一般地，如果,a,(,a,0,，,a,1),的,b,次幂等于,N,，就是,a,b,N,，那么,数,b,叫做以,的对数，记作,，,a,叫做对数的底,数，,N,叫做真数,(2),性质,没有对数；,log,a,1,；,log,a,a,.,提示：,指数式与对数式的互化：,a,b,N,b,log,a,N,(,a,0,且,a,1,，,N,0),a,为底,N,log,a,N,b,零与负数,0,1,1,对数,2,积、商、幂的对数运算法则,如果,a,0,，,a,1,，,M,0,，,N,0,有：,(1)log,a,(,MN,),；,(2)log,a,；,(3)log,a,M,n,提示：,在进行对数运算时，一要注意运算法则的正确使用，,二要注意各运算法则成立的条件,log,a,M,log,a,N,log,a,M,log,a,N,n,log,a,M,(,n,R),3,对数的换底公式及对数恒等式,(1),a,log,a,N,(,对数恒等式,),；,(2)log,a,a,n,；,(3),(,换底公式,),N,n,4,对数函数的定义,函数,y,log,a,x,(,a,0,且,a,1),叫做对数函数；它是指数函数,y,a,x,(,a,0,且,a,1),的反函数,提示：,对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，,注意辨别，还应注意对数函数对底数的限制,(,a,0,，且,a,1),5,对数函数的性质,【,思考,】,在同一坐标系中，对数函数的图象位置和底数大小有,怎样的关系？,答案：,在第一象限，图象从左到右，相应的底数由小变大，,在第四象限，图象从左到右相应的底数由大变小,lg(lg 10),0,；,lg(ln e),0,；,若,10,lg,x,，则,x,10,；,若,e,ln,x,，则,x,e,2,.,其中正确的是,(,),A,B,C,D,答案：,C,1,以下四个结论：,2,函数,y,log,a,(3,x,2)(,a,0,，,a,1),的图象经过定点,A,，则,A,点坐标,是,(,),A.B.C,(1,0)D,(0,1),解析：,当,3,x,2,1,即,x,1,时，,y,log,a,1,0,，即,A,(1,0),答案：,C,3,函数,y,的定义域是,(,),A,(3,，,)B,3,，,)C,(4,，,)D,4,，,),解析：,由,，得,x,4.,答案：,D,4,计算：,2log,2,3,log,2,_.,解析：,原式,2,log,2,9,log,2,2,log,2,2,log,2,8,2,3,5.,答案：,5,在解决对数运算时，应注意以下事项：,1,对数的底数不统一时，考虑利用换底公式先统一底数再运算,2,积、商、幂的对数往往化作对数的和、差、积形式；而对数的,和、差、积形式又往往化为积、商、幂的对数,3,运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，同时不要,把积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来,(1)2(lg ),2,lg lg 5,；,(2),设,4,a,5,b,m,，且 ,1,，求,m,的值,思维点拨：,灵活利用对数公式及对数换底公式求解,【,例,1】,求值：,解：,(1),原式,lg (2lg,lg 5),lg (lg 2,lg 5),1,lg,lg,1,lg,1.,(2),由题意，,a,log,4,m,，,b,log,5,m,log,m,4,2log,m,5,log,m,100,1,，,m,100.,变式,1,：,(1)(lg 2),2,lg 2lg 50,lg 25,；,(2),已知,2,x,5,y,10,z,，求证：,解：,(1),原式,lg 2(lg 2,lg 50),lg 25,2lg 2,lg 25,2(lg 2,lg 5),2lg 10,2.,(2),证明：,令,2,x,5,y,10,z,t,(,t,0),，,则,x,log,2,t,，,y,log,5,t,，,z,lg,t,，,从而 ,log,t,2,，,log,t,5,，,log,t,10,，,于是 ,log,t,2,log,t,5,log,t,10,，,故,求对数函数的定义域、值域、单调性时，应重视利用对数运算性质和函数的图象解决,【,例,2】,已知函数,f,(,x,),log,a,(2,x,b,1)(,a,0,，,a,1),的图象如下图,示，则,a,，,b,满足的关系是,(,),A,0,a,1,b,1,B,0,b,a,1,1,C,0,b,1,a,1,D,0,a,1,b,1,1.,又当,x,0,时，,1,y,0,，即,1log,a,b,0,，,b,1,，,0 ,b,0,得,0,x,1,，,所以函数,y,log,a,(,x,x,2,),的定义域是,(0,1),因为,01,时，,log,a,(,x,x,2,),log,a,，,函数,y,log,a,(,x,x,2,),的值域为,.,变式,2,：,求函数,y,log,a,(,x,x,2,)(,a,1),的定义域、值域、单调区间,令,u,x,x,2,(0,x,1,时，函数,y,log,a,(,x,x,2,),在,上是增函数，在,上,是减函数,故函数的单调递减区间是,，递增区间是,.,1.,研究形如,y,log,a,f,(,x,),的函数的单调性时，首先必须考虑它的定义域,2,当底数是字母,a,时，必须对,a,分,a,1,或,0,a,0,，且,a,1),，在区间,2,4,上是增函数，求实数,a,的取值范围,解：,设,t,ax,2,x,a,，,若,f,(,t,),log,a,t,在,2,4,上是增函数,a,1.,故实数,a,的取值范围为,(1,，,),变式,3,：,已知,f,(,x,),2,log,3,x,，,x,1,9,，求,y,f,(,x,),2,f,(,x,2,),的最大值及,y,取最大值时,x,的值,解：,f,(,x,),的,定义域为,1,9,，,y,f,(,x,),2,f,(,x,2,),的定义域由,得,1,x,3,，,定义域为,1,3,y,f,(,x,),2,f,(,x,2,),(2,log,3,x,),2,(2,log,3,x,2,),(log,3,x,),2,6log,3,x,6.,令,t,log,3,x,(1,x,3),，则,0,t,1,，,则,y,t,2,6,t,6(0,t,1),，,当,t,0,1,时，,y,是,t,的增函数，,当,t,1,时，,y,max,1,2,6,1,6,13,，,此时，,log,3,x,1,，得,x,3,，,当,x,3,时，,y,取得最大值,13.,【,方法规律,】,1,在对数运算中，要充分注意利用对数的运算性质进行化简，若出现不同的,“,底,”,，应利用换底公式换成相同的,“,底,”,2,比较大小是对数函数性质应用的常见题型，在比较时，若底数相同，则直接比较真数大小；若底数不同，常常间接比较间接比较时，可首先将它们与,0,比较，分出正负；正数常与,1,比较分出大于,1,还是小于,1,，然后各类数中再两两比较,3,解决对数函数问题时，易忘记考虑真数大于,0,，所以要先求定义域当底数是字母时，要分底数大于,1,，底数大于,0,且小于,1,讨论,.,(2009,天津卷,),设,a,，,b,，,c,0.3,，则,(,),A,a,b,c,B,a,c,b,C,b,c,a,D,b,a,c,解析：,由题意，得,a,log,3,2,1,，,c,0,，且,c,1,，所以,a,c,b,.,答案：,B,【,高考真题,】,【,规范解答,】,本题主要考查对数函数、指数函数的性质考题的命制，利用对数函数、指数函数的性质比较数的大小，达到了考查考生灵活应用对数函数、指数函数性质的目的，较好地体现了重视基础的命题特点,本题是江苏版数学必修,1,第,94,页第,14,题,“,设,a,0.3,2,，,b,2,0.3,，,c,，试比较,a,，,b,，,c,的大小,”,的改编题，考题将,a,、,b,、,c,，稍作变化，且由正值变成了负值，使得考题增加了能力的成分，但解答题变成了选择题，又使得解题的结果有了比较的依据,【,命题探究,】,【,母题探究,】,【,方法探源,】,比较两个幂值和两个对数值大小的方法,(1),若是两个幂值的大小的比较，则首先分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可以利用指数函数的单调性；如果指数相同，可以转化为底数相同，也可以借助图象；如果底数不同，指数也不同，就要利用中间量进行比较,(2),若是两个对数值的大小的比较，如果底数相同，可以利用对数函数的单调性；如果底数不相同，可以利用换底公式化为同底数的对数；如果底数、真数都不相同，就要注意与,0,比较或与,1,比较,.,点击此处进入 作业手册,
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