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大,小,二次函数的图象和性质,第一课时,二次函数的图象和性质第一课时,学习目标,1,经历探索二次函数,y=ax,2,的,图象的,作法和性质的,过程，进一步,获得将表格、表达式、,图象三,者联系起来的,经验,；,2,会作出,y=ax,2,的,图象，并,能比较它们与,y=x,2,的,异同，理解,a,对二次函数,图象的影响,；,3,能说出,y=ax,2,图象的,开口方向、对称轴和顶点,坐标。,学习目标,复习,一般,地，形,如,的,函数，叫做二次函数,。,其中，是,x,自变量，,a,，,b,，,c,分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数,项,。,y=ax,2,+bx+c,(a,、,b,、,c,为,常数,，,a,0),二次函数,:,思考,一次函数的,图象是,一条,直线，反比例,函数的,图象是双曲线，二次函数,的,图象是,什么形状,呢？通常,怎样画一个函数的,图象？,还记得如何用,描点法画一个,函数的图象,呢？,复习一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中，是x自变量，a，,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,二次函数的,图象,画函数,y=x,2,的,图象,解,:(,1,),列表,9,4,1,0,1,4,9,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,根据表中,x,，,y,的数值在坐标平面中描点,(,x,，,y),，再,用,平滑曲线,顺次连接各,点，就,得到,y=x,2,的,图象。,y=x,2,x-3-2 -1012 3y二次函数的图,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,二次函数的,图象,请画函数,y=,x,2,的,图,象,解,:(1),列表,-9,-4,-1,0,-1,-4,-9,(2),描点,(3),连线,根据,表中,x,，,y,的数值在坐标平面中描点,(,x,，,y),，再,用平滑曲线顺次连接各,点，就得到,y=-x,2,的,图象。,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y=,x,2,x-3-2 -1012 3y二次函数的图,下面是两个同学画的,y=0.5x,2,和,y=-0.5x,2,的,图象，你,认为他们的作图正确,吗？为什么？,下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图,x,y,o,x,y,o,y=x,2,的图象叫做,抛物线,y=x,2,y=,x,2,的图象叫做,抛物线,y=,x,2,二次函数的,图象,从图,象,可以看出,，,二次函数,y=x,2,和,y=,x,2,的,图,象,都是,一条,曲线，这,条曲线叫做,抛物线。,y=x,2,y=,x,2,实际上，二次函数,的,图象都是抛物线，它们,的开口向上或者,向下，一般地，二次函数,y=ax,2,+bx+c,的,图象叫做,抛物线,y=ax,2,+bx+,c,。,xyoxyoy=x2的图象叫做抛物线y=x2y=x2的图象,x,y,o,x,y,o,二次函数的,图象,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的,顶点。,抛物线,y=x,2,的顶点,(,0,，,0,),是它的,最低点,。,抛物线,y=,x,2,的顶点,(,0,，,0,),是它的,最高点,。,y=x,2,y=,x,2,从图象可以看出，二次函数,y=x,2,和,y=,x,2,的,图象都是,轴对称,图形，,y,轴是它们的,对称轴,。,实际上，每,条抛物线都有,对称轴，抛物线,与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或,最高点。,xyoxyo二次函数的图象抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶,例题与练习,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,y=x,2,例,1.,在同一直角坐标系中画出函数,y=x,2,和,y=2x,2,的,图象,解,:(1),列表,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,1,2,x,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=2x,2,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,1,2,例题与练习x-4-3-2 -101 234,观察,共同点,:,不同点,:,开口向上,，,顶点,是,原点,，顶点,是抛物线的,最低点，,对称轴,是,y,轴,，,除顶点,外，图象都,在,x,轴上方,开口大小不同,函数,y,=x,2,，,y,=2x,2,的,图,象与,函数,y=x,2,的,图象,相比,，,有,什么共同点和,不同点,？,1,2,性质,：,a0,，,图象,开口,向上，顶点,是抛物线的,最低点，,a,越大开口越,小，反之,越,大。,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,y=x,2,y=2x,2,y=0.5x,2,观察共同点:不同点:开口向上，顶点是原点，顶,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,在同一直角坐标系中画出函数,y=,x,2,和,y=,2x,2,的,图,象,1,2,y=,x,2,1,2,y=,2x,2,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,y=-x,2,0,-2,-2,-8,-8,x,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=2x,2,0,-2,-2,-8,-8,12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-,函数,y=,x,2,，,y,=,2x,2,的,图,象与,y=-x,2,的,图象,相比,，,有,什么共同点和,不同点,？,1,2,观察,共同点,:,不同点,:,开口向下,，,顶点,是,原点,，,对称轴,是,y,轴,，顶点,是抛物线的,最高点。,除顶点,外，图象都,在,x,轴下方,开口大小不同,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y=,x,2,1,2,y=,2x,2,y=x,2,性质,：当,a,0,时，图象开口向下，顶点,是抛物线的,最高点，,a,越,大，抛物线,的开口越大。,函数y=x2，y=2x2的图象与y,1.,抛物线,y=ax,2,的顶点是,原点，对称轴,是,y,轴。,2,.,当,a,0,时,，,抛物线,y=ax,2,在,x,轴的上方（除顶点外,）,，,它,的开口,向上,，,并且,向上无限伸展；,a,越,大，抛物线,的开口越小,当,a0,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,y=x,2,y=2x,2,y=0.5x,2,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y=,x,2,1,2,y=,2x,2,y=x,2,a,的符号决定抛物线的开口,方向，,|,a|,的大小决定抛物线开口的,大小，,|,a|,越,大,开口越,小。,12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y,思考,：,在同一坐标系,内,，,抛物线,y=x,2,与,抛物线,y,=-x,2,的位置有什么,关系,？,一般,地，抛物线,y=ax,2,与,抛物线,y=-ax,2,呢？,答,：抛物线,y=x,2,与抛物线,y=-x,2,既关于,x,轴对称,，,又,关于原点对称。,抛物线,y=ax,2,与抛物线,y=-ax,2,也有同样的关系。,思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线,当,a0,时，在,对称轴的,左侧，,y,随着,x,的增大而,减小。,当,a0,时，在,对称轴的,右侧，,y,随着,x,的增大而,增大。,当,a0,时，在,对称轴的,左侧，,y,随着,x,的增大而,增大。,当,a0时，在对称轴的当a0时，在对称轴的当a0时，在对,y,ax,2,a,0,a,0,图象,开口,对称性,顶点,增减性,二次函数,y=ax,2,的性质,开口向上,开口向下,a,的绝对值越,大，开口,越小,关于,y,轴对称,顶点坐标是原点（,0,，,0,）,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减,在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增,在对称轴右侧递减,O,O,yax2a0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=a,观察函数,y=x,2,的图象，则下列判断中正确的是,(),(,A,),若,a,，,b,互为相反数，则,x=a,与,x=b,的函数值相等。,(,B,),对于同一个自变量,x,，有两个函数 值与它对应。,(C,),对任一个实数,y,，有两个,x,和它对应。,(,D,),对任意实数,x,，都有,y,0,。,x,y,o,A,例题与练习,观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是(,（,1,）抛物线,y=2x,2,的顶点坐标是,，,对称轴是,，在,侧，,y,随着,x,的增大而增大；在,侧，,y,随着,x,的增大而,减小，当,x=,时，,函数,y,的值,最小，最小值,是,，抛,物,线,y=2x,2,在,x,轴的,方（除顶点外）。,（,2,）抛物线,在,x,轴的,方（除顶点外,）,，当,x0,时，,y,随着,x,的,；,当,x0,时，,y,随着,x,的,，,当,x=,0,时,，,函数,y,的值,最大,，,最大,值是,，,当,x,0,时,，,y,0,。,（,0,，,0,）,y,轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,谢 谢,谢 谢,
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