方差分析2

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第四章,方差分析,1,单因素方差分析,一、单因素方差分析,例,1,对六种不同的农药在相同的条件下分别进行杀虫试验，试验结果如下表。,问农药的品种对杀虫率是否有显著的影响。,76,94.25,51.5,59,89.75,84,平均值,75,72,81,92,99,95,91,55,48,56,62,90,88,87,94,87,85,80,1,2,3,4,农药,试验号,例,2,一位教师想要检查三种不同的教学方法的效果，,为此随机地选取了水平相当的,15,位学生，把他们分成,三组，每组五人，每一组用一种教学方法，一段时间,后，这位教师给,15,位学生进行考核，成绩如下：,成,绩,平均成绩,方法,1,75,62 71 58 73,67.8,方法,2,81,85 68 92 90,83.2,方法,3,73 79 60 75 81,73.6,问这三种教学方法的效果有无显著差异。,一、单因素方差分析,二、单因素方差分析的数学模型,设有,r,个正态母体 ，的分布为,，假定,r,个母体方差相等。在,r,个母体上作假设 。现独立地从各母体中抽出一个子样，列表为：,用,r,个子样检验假设,H,0,是否成立。,母体,子样,子样均值,三、,X,ij,的构成分析,X,ij,可分解为,其中 服从分布 。,其中：称为,总平均,。,于是原假设,H,0,可变为：,故,令,且,四、离差分解法,离差分解法的,主要思路,：,1,离差分解,记,2,比较 和 的大小,有 。当,H,0,成立时，上式等号成立。,3,给出 的分布,4,构造统计量,5,检验,若 ，则拒绝,H,0,。,四、离差分解法,总离差平方和,其中令,称,S,E,为,组内离差平方和,，称,S,A,为,组间离差平方和,。,四、离差分解法,令,那么,S,E,可改写为：,因此有,（,S,E,反映了各组内部,X,ij,由 引起的抽样误差，,S,A,反映了组间各母体平均数不同而引起的误差加上抽样,误差,。,）,四、离差分解法,组间离差平方和,S,A,可改写为：,因此有,联系,显然有,分别有：,和,四、离差分解法,分解定理,设,X,1,X,2,X,n,是,n,个相互独立的标准,正态变量，而,是自由度为,n,的 变量，若,Q,可表示成,其中,Q,i,是,X,1,，,X,2,X,n,的线性组合的平方和，自,由度为,f,i,，则 相互独立且为自由,度等于,f,i,的 变量充要条件是：,四、离差分解法,在,H,0,成立时，所有的 都等于零，这时,由,有,代入,S,T,、,S,E,和,S,A,的表达式，有,四、离差分解法,而,因此有,四、离差分解法,母体,组间,组内,总和,离差平方和,自由 度,均方离差,F,值,r-1,n-r,n-1,一元方差分析表,四、离差分解法,2,双因素方差分析,一、非重复试验的双因素方差分析,1,、问题的描述及数学模型：,设有两个因素,A,，,B,，,A,有,r,个水平 ，,B,有,s,个水平,对,A,B,的每一种组合水平,作一次试验，得试验结果 ，,，所有的 相互独立。,B,A,假设母体 ，令,则,其中：服从 分布。,且 ，,称 为,因素,A,的水平 的效应，,为,因素,B,的水平,的效应。,用,rs,个子样检验假设 是否成立。,需检验假设,一、非重复试验的双因素方差分析,2,离差分解法的主要思路,第一步,:,离差分解,记,总离差分解,一、非重复试验的双因素方差分析,第二步,:,计算,S,A,，,S,B,，,S,E,的,期望,显然有,当,H,01,，,H,02,成立时，等号成立。,一、非重复试验的双因素方差分析,第三步,:,导出 的分布,由分解定理，有,一、非重复试验的双因素方差分析,第四步,:,构造统计量,第五步,:,检验,若 ，则拒绝,H,01,。,若 ，则拒绝,H,02,。,一、非重复试验的双因素方差分析,二、重复试验的二元方差分析,1,、问题的描述及数学模型：,如右表所示：,A,B,仍然考虑两个因素,A,，,B,，,A,有个,r,水平 ，,B,有,s,个水平 ，对,A,，,B,的每一种组合水平,作,c,次试验，得试验结果 ，（，,，）所有的 相互独立。,假设母体 ，令,其中：服从 分布。,则,且 ，,称 为,因素,A,的水平 的效应,，为,因素,B,的水平,的效应,，,为,因素,A,与因素,B,的交互作用的效应,。,用,rsc,个子样检验假设 是否成立。,需检验假设,二、重复试验的二元方差分析,2,离差分解法的主要思路,第一步,:,离差分解,记,总离差分解,第二步,:,可计算,当 成立时，等号成立。,第三步,:,导出 的分布,有,，,二、重复试验的二元方差分析,第四步,:,构造统计量,若 ，则拒绝,H,01,。,若 ，则拒绝,H,02,。,若 ，则拒绝,H,03,。,第五步,:,检验,二、重复试验的二元方差分析,例,1,一火箭使用了四种燃料，三种推进器做射程试,验，每种燃料和每种推进器的组合各发射火箭两次，,得结果如下：,推进器,燃料,58.2 56.2 65.3,52.6 41.2 60.8,49.1 54.0 51.6,42.8 50.5 48.4,60.1 70.9 39.2,58.3 73.2 40.7,75.8 58.2 48.7,71.5 51.0 41.4,三、二元方差分析举例,解：其假设为,问推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著,影响,?(),其方差分析表为,：,三、二元方差分析举例,因素,A,因素,B,交互作用,总和,平方和,自由度,均方离差,F,值,261.67,370.98,1768.69,2638.29,3,2,6,23,87.225,185.49,294.78,误差,236.95,12,19.746,4.42,9.39,14.9,其方差分析表为,：,由于,故因素,A,、,B,和因素,A,B,的交互作用对射程都有,显著影响,。,三、二元方差分析举例,