离散型随机变量

单击此处编辑母版标题样式,定义,1,若随机变量,X,的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。,一、离散型随机变量的分布律,定义,2,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,其中,分布函数,分布律,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,例,1,抛掷均匀硬币,令,求随机变量,X,的分布函数,.,解,二、常见离散型随机变量及其概率分布,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值,它的分布律为,2.,两点分布,1.,退化分布,若随机变量,X,取常数值,C,的概率为,1,即,则称,X,服从,退化分布,.,则称,X,服从,(0-1),分布,或,两点分布,.,记为,X,b,(1,p,),说明：,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都可用两点分布来描述,.,3.,均匀分布,如果随机变量,X,的分布律为,实例,抛掷骰子并记出现的点数为随机变量,X,则有,4.,二项分布,若,X,的分布律为：,称随机变量,X,服从参数为,n,p,的,二项分布,。,记为,其中,q,1,p,二项分布,两点分布,例如,在相同条件下相互独立地进行,5,次射击,每次射击时击中目标的概率为,0.6,则击中目标的次数,X,服从,B,(5,0.6),的二项分布,.,4.,泊松分布,泊松资料,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察,与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了,2608,次观察,(,每次时间为,7.5,秒,),发现,放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子,数,X,服从泊松分布,.,地震,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,泊松定理,证明,二项分布,泊松分布,n,很大,p,很小,从上面我们可以看到,一般要求,n10,p0.1,设,1000,辆车通过,出事故的次数为,X,则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例,2,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率,为,0.0001,在每天的该段时间内有,1000,辆汽车通,过,问出事故的次数不小于,2,的概率是多少,?,6.,几何分布,若随机变量,X,的分布律为,则称,X,服从,几何分布,.,说明,几何分布可作为描述某个试验,“,首次成功,”,的概率模型,.,7.,超几何分布,设,X,的分布律为,超几何分布在关于废品率的计件检验中常用,到,.,说明,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,泊松分布,两点分布,三、小结,超几何分布,退化分布,例,从一批含有,10,件正品及,3,件次品的产品中一,件、一件地取产品,.,设每次抽取时,所面对的各件,产品被抽到的可能性相等,.,在下列三种情形下,分,别求出直到取得正品为止所需次数,X,的分布律,.,(1),每次取出的产品经检定后又放回,这批产品中去在取下一件产品,;(2),每,次取出的产品都不放回这批产品中,;,(3),每次取出一件产品后总以一件正,品放回这批产品中,.,备份题,故,X,的分布律为,解,(1),X,所取的可能值是,(2),若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故,X,的分布律为,X,所取的可能值是,(3),每次取出一件产品后总以一件正品放回这批,产品中,.,故,X,的分布律为,X,所取的可能值是,例,为了保证设备正常工作,需配备适量的维修,工人,(,工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生,产,),现有同类型设备,300,台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是,0.01.,在通常情况下一台设备,的故障可由一个人来处理,(,我们也只考虑这种情况,),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障,但不能及时维修的概率小于,0.01?,解,所需解决的问题,使得,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于,0.01.,故至少需配备,8,例,6,(,人寿保险问题,),在保险公司里 有,2500,个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为,0.002,每个参加保险的人在,1,月,1,日付,12,元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取,200,元,.,问,(1),保险公司亏本的概率是多少,?,(2),保险公司获利不少于一万元的概率是多少,?,保险公司在,1,月,1,日的收入是,2500,12=30000,元,解 设,X,表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出,200,X,元,.,假定,200,X,30000,即,X,15,人时公司亏本,.,于是,P,公司亏本,=,P,X,15=1-,P,X,14,由泊松定理得,P,公司亏本,(2),获利不少于一万元,即,30000-,200,X,10000,即,X,10,P,获利不少于一万元,=,P,X,10,分析,这是不放回抽样,.,但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理,.,例,2,解,图示概率分布,解,因此,例,3,二项分布的图形,泊松分布的图形,泊松分布随机数,演示,Jacob Bernoulli,Born:,27 Dec 1654 in Basel,Switzerland,Died:,16 Aug 1705 in Basel,Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born:,21 June 1781 in Pithiviers,France,Died:,25 April 1840 in Sceaux(near Paris),France,Simon Poisson,