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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，,叫做元素 的,代数余子式,如，,一、余子式与代数余子式,定义：,记作：,行列式的每一个元素都对应一个余子式和代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和,1,引理：,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,如，,二、行列式按行（列）展开法则,引理：一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都,2,证：,1,0,当 位于第一行第一列时,即有：,2,0,再证一般情形,此时,又,证：10 当 位于第一行第一列时,即有：,3,得,得,4,得,得,5,证：,或,定理：,行列式等于它的任一行（列）的各元素,与其对应的代数余子式乘积之和,，即：,证：或定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的,6,同济线性代数-第一讲课件,7,证：,推论：,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）,的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,，即：,证：推论：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,8,同理,相同,同理相同,9,代数余子式的重要性质,注：,代数余子式的重要性质注：,10,例,1,计算,例1 计算,11,例,2,计算,n,阶行列式,例2 计算 n 阶行列式,12,证：,用,数学归纳法,例,3,证明范德蒙德,(Vandermonde),行列式,证：用数学归纳法例3证明范德蒙德(Vandermonde),13,同济线性代数-第一讲课件,14,n-,1,阶范德蒙德行列式,注：,此结论可直接使用。,数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式注：此结论可直接使用。数学归纳法,15,如，,如，,16,7 克拉默法则,7 克拉默法则,17,设 方程组,则称此方程组为,非,齐次线性方程组,;,此时称方程组为,齐次线性方程组,.,一、线性方程组,线性,设 方程组则称此方程组为非 齐次线性方程组;此,18,二、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,二、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即,19,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方,20,例,1,用克拉默法则解方程组,解,:,例1 用克拉默法则解方程组解:,21,同济线性代数-第一讲课件,22,同济线性代数-第一讲课件,23,三、重要定理,如果线性方程组,(1),的系数行列式,则,(1),一定有解,且解是唯一,的,.,定理,1,如果线性方程组,(1),无解或有两个不同的解,，,定理,2,则它的系数行列式必为零，即：,三、重要定理 如果线性方程组(1)的系数行列式,24,四、齐次线性方程组的相关定理,1.,齐次线性方程组的零解与非零解,注：,齐次线性方程组,一定有零解,，,但,不一定有非零解,。,四、齐次线性方程组的相关定理1.齐次线性方程组的零,25,定理：,如果齐次线性方程组（,2,）,有非零解,则它,的系数行列式必为零,即：,如果齐次线性方程组（,2,）的系数行列式,定理：,则齐次线性方程组（,2,）,没有非零解,。,2.,重要性质,定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它的系数行列式必,26,例,2,问 取何值时，齐次线性方程组,有非零解？,例2 问 取何值时，齐次线性方程组有非零解？,27,解：,齐次方程组有非零解,时齐次方程组有非零解,.,或,解：齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.或,28,1.,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式,的计算化为低阶行列式计算的重要工具,.,小结,3.,克拉默法则及其重要性质,1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列,29,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和：,思考题求第一行各元素的代数余子式之和：,30,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,思考题解答解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,31,
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