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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.1.2,瞬时变化率,-,导数（,1,）,1,问题情境：,问题一：如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,问题二：,观察“点,P,附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？,问题三：这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 什么图形呢？,放大,放大,2,探究结论：,从上面的图形变化过程来看：,1,）曲线在点,P,附近看上去几乎成了直线,2,）继续放大，曲线在点,P,附近将逼近一条确定的直线,l,，这条直线是过点,P,的所有直线中最逼近曲线的一条直线,3,）点,P,附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）,3,深入探究：,l,1,O,l,2,P,如图所示，直线,l,1,，,l,2,为经过曲线上一点,P,的两条直线,问题一：,试判断哪一条直线在点,P,附近更加逼近曲线；,问题二：,在点,P,附近能作出一条比,l,1,，,l,2,更加逼近曲线,的直线,l,3,吗？,问题三：,在点,P,附近还能作出比,l,1,，,l,2,，,l,3,更加逼近曲线的,直线吗？,4,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,l,建构数学：,5,如图，设,Q,为曲线,C,上不同于,P,的一点，直线,PQ,称为曲线的割线,.,P,为已知曲线,C,上的一点，,如何求出点,P,处的切线方程？,随着点,Q,沿曲线,C,向点,P,运动，割线,PQ,在点,P,附近逼近曲线,C,，当,直线,l,，,这条直线,l,也称为曲线在点,P,处的切线这种方法叫割线逼近切线,.,点,Q,无限逼近点,P,时，直线,PQ,最终就成为经过点,P,处最逼近曲线的,y,O,x,P,Q,6,试求,f,(,x,)=,x,2,在点,(2,4),处的切线斜率,y,O,P,2,4,Q,x,数学运用：,分析：设,P,(,2,，,4,),，,Q,(,x,Q,，,f,(,x,Q,),则割线,PQ,的斜率为,当,Q,沿曲线逼近点,P,时，割线,PQ,逼近点,P,处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；,当,Q,点横坐标无限趋近于,P,点横坐标时，,即,x,Q,无限趋近于,2,时，,k,PQ,无限趋近于常数,4,从而曲线,f,(,x,),x,2,在点,(,2,，,4,),处的,切线斜率为,4,7,练习,：,试求,f,(,x,),x,2,+1,在,x,1,处的切线斜率,解：设,P,(,2,，,4,),，,Q,(,x,Q,，,x,Q,2,),，,则割线,PQ,的斜率为：,当,x,Q,无限趋近于,2,时，,k,PQ,无限趋近于常数,4,，,从而曲线,f,(,x,),x,2,在点,(,2,，,4,),处的切线,斜率为,4,解：设,P,(,2,，,4,),，,Q,(,2,x,，,(,2,x,),2,),，,则割线,PQ,的斜率为：,当,x,无限趋近于,0,时，,k,PQ,无限趋近于常数,4,，,从而曲线,f,(,x,),x,2,在点,(,2,，,4,),处的切线,斜率为,4,8,练习：,试求,f,(,x,),x,2,1,在,x,=1,处的切线斜率,当,x,无限趋近于,0,时，,割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率,找到定点,P,的坐标设出动点,Q,的坐标,求出割线斜率,解：由题意，设,P,(,1,，,2,),，,Q,(,1,x,，,(,1,x,),2,1,),，则割线,PQ,斜率为,当,x,无限趋近于,0,时，,k,PQ,无限趋近于常数,2,，,从而曲线,f,(,x,),x,2,1,在点,x,1,处的切线斜率为,2,9,y,x,O,y,=,f,(,x,),x,x,0,x,0,+,x,P,Q,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),切线,割线,P,（,x,0,f,(,x,0,),Q(x,0,+,x,f,(,x,0,+,x,),x,0,时,点,Q,位于点,P,的右侧,y,=,f,(,x,),x,0,时,点,Q,位于点,P,的左侧,2.,求出割线,PQ,的斜率 ，并化简,.,求曲线,y,=,f,(,x,),上一点,P,(,x,0,f,(,x,0,),处切线斜率的一般步骤：,3.,令,x,趋向于,0,，,若上式中的割线斜率“逼近,”,一个常数，,则其即为所求切线斜率,1.,设曲线上另一点,Q,(,x,0,+,x,f,(,x,0,+,x,),M,（即,y),10,变式训练：,11,课堂练习：,12,练习：,13,1,曲线上一点,P,处的切线是过点,P,的所有直线中最接近,P,点附近曲线的直线，则,P,点处的变化趋势可以由该点处的切线反映,(,局部以直代曲,),2,根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程,割线,PQ,P,点处的切线,Q,无限逼近,P,时,割线,PQ,的斜率,P,点处的切线斜率,Q,无限逼近,P,时,Q,无限逼近,P,时,即区间长度趋向于,0,令横坐标无限接近,函数在区间,x,P,，,x,Q,(,或,x,Q,，,x,P,）上的平均变化率,P,点处的,瞬时变化率,(,导数,),小 结：,14,
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