正四面体与正方体例话课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、正方体高考十年,十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.,立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.,十年的立几高考，考的都是多面体.其中：,（1）直接考正方体的题目占了三分之一；,（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.,因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.,正四面体与正方体例话,1,解 析,外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似相等，否定(A)，正确答案只能是(B).,（,1995,年）正方体的全面积为,a,2,，则其外接球的表面积为,考题 1 （正方体与其外接球）,2,考题 2 （正方体中的线面关系）,小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答.如解答（1），只要知道棱,AD,与后侧面垂直就够了.,说 明,（1997年）如图，在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CD,的中点,（1）证明,AD,D,1,F,；,（2）求,AE,与,D,1,F,所成的角；,（3）证明面,AED,面,A,1,FD,1,；,（4）设,AA,1,=2,求三棱锥,F,-,A,1,ED,1,的体积 .,3,考题 3 （正方体的侧面展开图）,考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题、为假，而命题、为真，答案是C.,解 析,（2001年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，,BM,与,ED,平行；,CN,与,BE,是异面直线；,CN,与,BM,成60角；,DM,与,BN,垂直.,以上四个命题中，正确命题的序号是,（A）（B）,（C）（D）,4,（,2002,年）在下列四个正方体中，能得出,AB,CD,的是,考题4 （正方体中主要线段的关系）,射影法：作,AB,在,CD,所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.,平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.,解 析,5,（,2003,年）棱长为,a,的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为,考题 5 （正方体与正八面体）,解 析,将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的 ，再乘 得 .,答案选C.,6,考题 6 （正方体中的三角形）,解 析,在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得 ，所以选C.,7,在三棱锥,O,ABC,中，三条棱,OA,、,OB,、,OC,两两互相垂直，且,OA,=,OB,=,OC,，,M,是,AB,边的中点，则,OM,与平面,ABC,所成角的正弦值是,考题 7 2006年四川卷第13题正方体的一“角”,如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,P,分别是,BC,、,A,1,D,1,的中点，,M,、,N,分别是,AE,、,CD,1,的中点，,AD,=,AA,1,=,a,，,AB,=2,a,.,（1）求证：,MN,面,ADD,1,A,1,；,（2）求二面角,P,AE,D,的大小；,（3）求三棱锥,P,DEN,的体积.,考题8 2006年四川卷第19题两正方体的“并”,P,8,如图，在棱长为1的正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,P,是侧棱,CC,1,上的一点，,CP,=,m,.,()试确定,m,使得直线,AP,与平面,BDD,1,B,1,所成角的正切值为3 ；,()在线段,A,1,C,1,上是否存在一个定点,Q,，使得对任意的,m,，,D,1,Q,在平面,APD,1,上的射影垂直于,AP,.,并证明你的结论.,分析：,熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()问，可心算出结果为,m,=1/3；对第()问，可猜出这个,Q,点在,O,1,点,.可是由于对正方体熟悉不多，因此第()小题成了大题，第()小题成了大难题.,考题9 （2006年湖北卷第18题）,9,考题,10,（,2006,年安徽卷第,16,题）,多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：,3；4；5；6；7,以上结论正确的为_.,（写出所有正确结论的编号）,10,二、正四面体与正方体,从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.,我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考,：,（1）正方体如何演变出正四面体？,（2）正方体如何演变出正八面体？,（3）正方体如何演变出正三棱锥？,（4）正方体如何演变出斜三棱锥？,正四面体与正方体例话,11,考 题 1 （正四面体化作正方体解）,说 明,本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解.,12,拙解 硬碰正四面体,13,联想 、的关系,正四面体的棱长为 ，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？,则三棱锥,B,A,1,C,1,D,是棱长为 的正四面体,.,于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决,.,为此，在棱长为1的正方体,B,D,1,中，,（1）过同一顶点,B,作3条面对角线,BA,1,、,BC,1,、,BD,；,（2）将顶点,A,1,，,C,1,，,D,依次首尾连结,.,A,1,C,1,D,B,A,C,A,1,B,1,D,1,C,1,D,B,14,妙解 从正方体中变出正四面体,以 长为面对角线，可得边长为1的正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，这个正方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径为 ，则其外接球的表面积为,S,=4,R,2,=,=4(),2,3,以 为棱长的正四方体,B,-,A,1,C,1,D,与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为,S,=3,.,答案为A,.,15,寻根 正方体割出三棱锥,在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥,.,每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3,.,这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.,事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有,-,12=58个,.,至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根,.,16,按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间.所以，十年来立几考题哪怕是解答题也没有出现在压轴题中.,从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.,然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！,三、正方体成为十年大难题,正四面体与正方体例话,17,命题 将正方体一分为二,2003年全国卷第18题，天津卷第,18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题,.,其难度，超过了当年的压轴题,.,在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱,.,图中的点,E,正是正方体的中心,.,18,考题,如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，底面是等腰直角三角形，,ACB,=90.侧棱,AA,1,，,D,、,E,分别是,CC,1,与,A,1,B,的中点，点,E,在平面,ABD,上的射影是,ABD,的重心,G,.,()求,A,1,B,与平面,ABD,所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；,()求点,A,1,到平面,AED,的距离.,19,解 析,（转下页）,考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线.,20,（转下页）,解 析（续上）,考场反馈：按出题人给出的这种解析，无法在原图上显示.,21,解 析（续上）,（解毕）,阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种“标准答案”.,22,难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.,本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的,画法不标准！,23,难题（0318）的题图探究,正方体立体图常见的画法有两种：,（1）斜二测法（图右）,此法的缺点：,A,1,、B,、,C,三点“共线”,导致“三线”重合,（2）正等测法（图右）,此法的缺点：,A、C,、,C,1,、A,1,“共线”,导致“五线”重合,难题的图近乎第二种画法（图右）：,将正方体的对角面置于正前面.,24,四、解正方体,正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单.,像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.,我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！,正四面体与正方体例话,25,正方体，（）个面，线面距转（）面距，,（）个顶点（）棱。寻找（）要根据。,顶点连线（）条，异面直线求距离，,一顶（）线来相交。确定（）是难题。,三顶确定三角形，正方体，是个宝，,要求三顶不共（）。各种关系藏得巧。,四顶确定四面体，正四面体（）条棱，,要求四顶不共（）。选自6面（）线；,三种线段结数缘，,正八面体（）个顶，,根,1,、根,2和（）。6面（）对得准。,6,8,12,28,7,线,面,点,射影,垂足,6,对角,6,中心,根3,关于正方体 你已经知道了多少？,关于正方体 还有许多许多！,例如，8个顶点中，4顶共面的有（）个，4顶异面的（）个。,正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。,26,五、解正四面体,统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了.,其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.,在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！,正四面体与正方体例话,27,正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为,底面正三角形高为（）；底面正三角形的外半径为（）；,正三角形的内半径为（）；正四面体的斜高为（）；,斜高在底面上的射影为（）；斜面与底面成角余弦值（）；,正四面体高为（）；外接球半径为（）；,内切球半径为（）.,一句话小结,正四面体与正方体的对应量只相差一个系数：（或 ）,28,（2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是,A.B.C.D.,.,P,D,A,1,P,.,C,1,B,2,2,A,1,P,C,1,妙解 （找老子解儿子）,答案为C,29,拙解 （就儿子解儿子）,如图所示：即,求,三角形,PCD,的面积.,因为,CD,=2，四面体,A,-,BCD,是正三棱锥，则,PD,=,PC,，三角形,PCD,是等腰三角形.过,P,作,CD,的中线交,CD,于,Q,，则球心在,PQ,上.连,BQ,，,AQ,，则,AQ,=,BQ,因为,O,在,PQ,上，则,PQ,是线段,AB,的中垂线.即,Q,是,AB,的中点.,30,（,1,）由正方体变出正四面体；,（,2,）由正方体变出正八面体；,（,3,）由正方体变出正棱柱、直棱柱；,（,4,）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；,（,5,）由正方体变出斜三棱锥：,D,A,1,B,1,C,1,小结 正方体是多面的“题根”,A,C,A,1,B,1,D,1,C,1,D,B,正四